逆变换法抽样（连续、离散、混合型分布） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

分布类型

离散分布的取值5 个数

最小 1最大 5均值 3

0–1,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

离散分布的概率5 个数

最小 0.1最大 0.4均值 0.2

0–1,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

自己给的均匀随机数5 个数

空时用种子生成

最小 0.05最大 0.95均值 0.44

0–10,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

生成的个数

不给 u 时

120 万

随机种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

调用时给的均匀随机数

输出

用时 165 毫秒 · 11/14 22:23 运行

样本个数: 5个
样本均值: 3
理论均值: 3.4
样本方差: 2.5
理论方差: 1.64

经验分布和理论分布

经验分布
理论分布

纵轴：F(x)

前几个随机数和抽样值sample5 行 · 3 列

结果表前几个随机数和抽样值
序号	U	X = F⁻¹(U)
1	0.05	1
2	0.25	2
3	0.35	3
4	0.6	4
5	0.95	5

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 8.1.6 的分布（1 到 5 年，概率 0.1、0.2、0.1、0.4、0.2，累计 0.1、0.3、0.4、0.8、1）；手算 U = 0.05、0.25、0.35、0.6、0.95 落在的区间

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
理论均值theory_mean	3.4	3.4
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 1 行	1	1
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 2 行	2	2
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 3 行	3	3
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 4 行	4	4
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 5 行	5	5

允许误差 1×10⁻¹²

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 8.1.7：70% 是 0，30% 服从均值 10,000 的指数分布；U > 0.7 时 X = −10000 ln((1−U)/0.3)，U = 0.9 时 X = 10986.12
参数连续分布指数分布 Exp(θ)分布类型混合型：一定概率是 0，否则服从连续分布混合型取 0 的概率 70%连续分布第 1 个参数 1 万自己给的均匀随机数 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 1 行 0 0
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 2 行 10,986.123 10,986.123
说明：书里的反函数印成 −1000 ln((1−U)/0.3)，少了一个 0。由 F(x) = 1 − 0.3e^{−x/10000} 直接解出是 −10000 ln((1−U)/0.3)
允许误差 0.0001
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 8.1.4 的公式 X = θ((1−U)^{−1/α} − 1)，α = 3、θ = 1000：U = 0.5 得 259.92，U = 0.875 得 1000（手算）
参数连续分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）分布类型连续分布 X = F⁻¹(U)连续分布第 1 个参数 3第 2 个参数 1,000自己给的均匀随机数 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 1 行 259.92105 259.92105
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 2 行 1,000 1,000
允许误差 0.000001
第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 8.1.3 的公式 X = −θ ln(1−U)，θ = 10，U = 0.5
参数连续分布指数分布 Exp(θ)分布类型连续分布 X = F⁻¹(U)连续分布第 1 个参数 10自己给的均匀随机数 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 1 行 6.9314718 6.9314718
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 1 行	0	0
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 2 行	10,986.123	10,986.123

项	标准答案	平台算出
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 1 行	259.92105	259.92105
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 2 行	1,000	1,000

项	标准答案	平台算出
X = F⁻¹(U)表 sample · 第 1 行	6.9314718	6.9314718

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：11 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 17 行165 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.simulation import generators34result = generators.inverse_transform(5    kind="discrete",6    dist="exponential",7    p1=10000,8    p2=1000,9    p3=1000,10    values=[1, 2, 3, 4, 5],11    probs=[0.1, 0.2, 0.1, 0.4, 0.2],12    p0=0.7,13    u=[0.05, 0.25, 0.35, 0.6, 0.95],14    n=10000,15    seed=20261113,16)17print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）8.1.2 Inverse Transform Method

覆盖的考试公式

SIM-001逆变换法ASTAMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

连续分布用分位数函数 X = F⁻¹(U)；离散分布按累计概率区间取值；混合型（一定概率不出险，否则损失服从连续分布）按分布函数的跳跃处理。可以给自己的均匀随机数（考试题常用），也可以用固定种子生成。给出样本、样本矩和理论矩、经验分布和理论分布的对比。

说明和限制

参数化和精算考试一致：两参数 Pareto 是 F(x) = 1 − (θ/(x+θ))^α（scipy 的 lomax），不是 scipy 的 pareto。
离散分布：U 正好落在累计概率上时取较小的值（F⁻¹(u) = inf{x: F(x) ≥ u}）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

模拟与重抽样，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“手上有均匀随机数，怎样把它们变成想要的损失分布的样本？”