尾部比较：哪个分布的尾更重 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

第 1 个分布

尺度 θ

Cauchy 的尺度、逆高斯的形状也用 θ

0100,000 万

形状 α

0.011,000

第 2 个分布

第 2 个分布的μ

对数正态的对数均值；正态、逆高斯的均值；Cauchy 的位置

范围 -100,000 万到 100,000 万

第 2 个分布的σ

对数正态、正态的 σ；GB2 的 σ

0.0001100,000 万

看一个点 d 的危险率和平均超额损失元

0 元1,000,000 万元

当前选项用不到的 16 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 978 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:21 运行

第 1 个分布: Pareto 分布（两参数，Lomax）（α = 3, θ = 200）
第 2 个分布: 对数正态分布（μ = 4, σ = 1）
第 1 个的尾部: 重尾：正的矩只存在到 3 阶以下
第 2 个的尾部: 中等：各阶矩都存在，但矩母函数在 t > 0 时不存在
第 1 个的矩存在到几阶: 3
第 2 个的矩存在到几阶: 全部
第 1 个的 h(1000): 0.0025
第 1 个的 e(1000): 600元
第 2 个的 h(1000): 0.0031975
第 2 个的 e(1000): 395.209元
第 1 个的危险率: 下降
第 2 个的危险率: 下降
第 1 个的平均超额损失: 上升
第 2 个的平均超额损失: 上升
尾部更重的是: 第 1 个分布

越来越远处的 ln S₁(x)/S₂(x)

纵轴：ln S₁/S₂

各分位点的危险率和平均超额profile7 行 · 5 列

结果表各分位点的危险率和平均超额
分位点	h₁	h₂	e₁（元）	e₂（元）
0.5	0.0119055	0.0146138	125.992	96.8727
0.75	0.00944941	0.0118598	158.74	118.802
0.9	0.00696238	0.00892328	215.443	153.621
0.95	0.00552605	0.00729306	271.442	184.377
0.99	0.00323165	0.00476688	464.159	272.308
0.995	0.00256496	0.00403036	584.804	318.243
0.999	0.0015	0.00280547	1,000	446.989

两个分布的生存函数和密度之比ratio9 行 · 5 列

结果表两个分布的生存函数和密度之比
x（元）	S₁(x)	S₂(x)	ln S₁/S₂	ln f₁/f₂
728.318	0.01	0.00478853	0.736362	0.525704
1,800	0.001	0.00023655	1.4416	1.11384
4,108.87	0.0001	0.00000777	2.55495	2.09478
9,083.18	0.00001	1.58×10⁻⁷	4.15057	3.56026
19,800	0.000001	1.89×10⁻⁹	6.27053	5.55829
42,888.69	1×10⁻⁷	1.31×10⁻¹¹	8.93948	8.115
92,631.78	1×10⁻⁸	5.17×10⁻¹⁴	12.1719	11.2446
199,800	1×10⁻⁹	1.15×10⁻¹⁶	15.9764	14.9549
430,686.93	1×10⁻¹⁰	1.44×10⁻¹⁹	20.358	19.2498

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

闭式公式：Pareto e(d) = (d+θ)/(α−1) = 600，h(d) = α/(d+θ) = 0.0025；指数分布 e(d) = θ，h = 1/θ

参数形状 α 3看一个点 d 的危险率和平均超额损失 1,000 元第 2 个分布指数分布 Exp(θ)第 2 个分布的尺度 θ 100第 1 个分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度 θ 200其余用默认值

项	标准答案	平台算出
第 1 个的 e(1000)e1_d	600	600
第 2 个的 e(1000)e2_d	100	100
第 1 个的 h(1000)h1_d	0.0025	0.0025
第 2 个的 h(1000)h2_d	0.01	0.01
尾部更重的是heavier	第 1 个分布	第 1 个分布
第 1 个的矩存在到几阶limit1	3	3
第 1 个的平均超额损失me_shape1	上升	上升
第 2 个的平均超额损失me_shape2	不变	不变

允许误差 1×10⁻⁹

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：23 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 29 行978 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.frequency_severity import tails34result = tails.tail_compare(5    dist="pareto",6    theta=200,7    alpha=3,8    tau=2,9    gamma=2,10    mu=4,11    sigma=1,12    a=2,13    b=3,14    alpha1=2,15    alpha2=3,16    d2_dist="lognormal",17    d2_theta=200,18    d2_alpha=3,19    d2_tau=2,20    d2_gamma=2,21    d2_mu=4,22    d2_sigma=1,23    d2_a=2,24    d2_b=3,25    d2_alpha1=2,26    d2_alpha2=3,27    d=1000,28)29print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models5.3 节 Tails of distributions
Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.2 节

覆盖的考试公式

FRS-003尾部比较与平均超额损失FAMASTAMSP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对两个分布给出矩的存在性、危险率和平均超额损失的走向、尾部的类别，并计算越来越远处的 S₁(x)/S₂(x) 和 f₁(x)/f₂(x)。

说明和限制

平均超额损失上升、危险率下降，说明尾部重；反过来说明尾部轻。
比值列的点取两个分布的分位数里较大的一个，越往下越远。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

频率与强度，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个损失分布，哪个的尾部更重？矩存在到几阶，危险率和平均超额损失怎么变？”