计数分布一览：(a,b,0) 和 (a,b,1) 类

出险次数服从泊松、二项、负二项、几何或对数分布（可以零截断、零修正）时，各次数的概率、均值、方差是多少？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 8 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 10 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

计数分布

变形

负二项的 r

零截断、零修正时可以 −1 < r < 0

范围 -0.999 到 10 万

负二项、几何、对数分布的 β

01 万

概率表算到 k

1200

概率母函数在 z 处的值

-11

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：负二项分布（r = 3, β = 3）

输出

用时 849 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

a: 0.75
b: 1.5
P(N = 0): 0.015625
均值 E[N]: 9次
方差 Var(N): 36次²
方差 / 均值: 4
偏度: 1.16667
超额峰度: 2.02778
概率母函数 P(0.5): 6.4%
P'(1) = E[N]: 9
P''(1) = E[N(N−1)]: 108

负二项分布（r = 3, β = 3）的概率

纵轴：概率

scipy 写法：scipy.stats.nbinom(n=3, p=1/(1+β)=0.25)。
递推的概率和 scipy 的最大差 8.33e-17。
表里只列到 k = 12，后面还有 0.2361 的概率。

各次数的概率pmf13 行 · 5 列

结果表各次数的概率
次数 k	概率 p_k	累积概率	k·p_k/p_{k−1}	scipy 的概率
0	0.015625	0.015625	—	0.015625
1	0.0351563	0.0507813	2.25	0.0351563
2	0.0527344	0.103516	3	0.0527344
3	0.065918	0.169434	3.75	0.065918
4	0.0741577	0.243591	4.5	0.0741577
5	0.0778656	0.321457	5.25	0.0778656
6	0.0778656	0.399323	6	0.0778656
7	0.0750847	0.474407	6.75	0.0750847
8	0.0703919	0.544799	7.5	0.0703919
9	0.0645259	0.609325	8.25	0.0645259
10	0.0580733	0.667398	9	0.0580733
11	0.0514741	0.718872	9.75	0.0514741
12	0.0450398	0.763912	10.5	0.0450398

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

8 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 3.5.1：泊松 λ = 2 的 p₀–p₃

参数计数分布泊松分布 Poisson(λ)泊松的 λ 2变形原分布（(a,b,0) 类）其余用默认值

项	标准答案	平台算出
aa	0	0
bb	2	2
概率 p_k表 pmf · k=0	0.135335	0.13533528
概率 p_k表 pmf · k=1	0.27067	0.27067057
概率 p_k表 pmf · k=2	0.27067	0.27067057
概率 p_k表 pmf · k=3	0.180447	0.18044704

允许误差 0.000001

第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 3.5.1：零截断泊松 λ = 2 的 p₁ᵀ–p₃ᵀ
参数计数分布泊松分布 Poisson(λ)泊松的 λ 2变形零截断（去掉 0）其余用默认值
项标准答案平台算出
概率 p_k表 pmf · k=0 0 0
概率 p_k表 pmf · k=1 0.313035 0.31303529
概率 p_k表 pmf · k=2 0.313035 0.31303529
概率 p_k表 pmf · k=3 0.20869 0.20869019
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 3.5.1：零修正泊松 λ = 2，p₀ᴹ = 0.6
参数计数分布泊松分布 Poisson(λ)泊松的 λ 2零修正的 P(N=0)，即 p₀ᴹ 0.6变形零修正（另给 P(N=0)）其余用默认值
项标准答案平台算出
概率 p_k表 pmf · k=0 0.6 0.6
概率 p_k表 pmf · k=1 0.125214 0.12521411
概率 p_k表 pmf · k=2 0.125214 0.12521411
概率 p_k表 pmf · k=3 0.083476 0.083476076
允许误差 0.000001
第 4 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版 3.3 节：负二项 r = 3, β = 3 的均值 rβ = 9；方差 rβ(1+β) = 36，P''(1) = r(r+1)β² = 108（闭式公式）
参数负二项、几何、对数分布的 β 3计数分布负二项分布 NB(r, β)负二项的 r 3其余用默认值
项标准答案这次算出
均值 E[N]mean 9 9
P'(1) = E[N]pgf_d1 9 9
P''(1) = E[N(N−1)]pgf_d2 108 108
方差 Var(N)var 36 36
允许误差 0.000001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式：对数分布 p₁ = β/((1+β)ln(1+β))，E[N] = β/ln(1+β)，Var = β[1+β−β/ln(1+β)]/ln(1+β)
参数负二项、几何、对数分布的 β 1计数分布对数分布 Log(β)（从 1 开始）其余用默认值
项标准答案平台算出
均值 E[N]mean 1.442695 1.442695
方差 Var(N)var 0.8040211 0.8040211
概率 p_k表 pmf · k=1 0.72134752 0.72134752
说明：书里附录 D 的 R 代码用了 dnbinom，应是对数分布。
允许误差 1×10⁻⁹
第 6 条
平台算出的数对得上
闭式公式：截断负二项 p₁ᵀ = rβ/((1+β)^{r+1} − (1+β))，E[N] = rβ/(1 − (1+β)^{−r})（Loss Models 附录 B）
参数负二项、几何、对数分布的 β 1计数分布负二项分布 NB(r, β)负二项的 r -0.5变形零截断（去掉 0）其余用默认值
项标准答案平台算出
均值 E[N]mean 1.2071068 1.2071068
概率 p_k表 pmf · k=1 0.85355339 0.85355339
允许误差 1×10⁻⁹
第 7 条
平台算出的数对得上
闭式公式：零截断二项 E[N] = mq/(1−(1−q)^m)，P(z) = ([1+q(z−1)]^m − (1−q)^m)/(1−(1−q)^m)
参数计数分布二项分布 Bin(m, q)二项的 m 5二项的 q 0.2变形零截断（去掉 0）概率母函数在 z 处的值 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
均值 E[N]mean 1.487387 1.487387
概率母函数 P(0.5)pgf 0.39090017 0.39090017
说明：书里附录 D 零截断二项的概率母函数有排版错误，这里按标准结果。
允许误差 1×10⁻⁹
第 8 条
平台算出的数对得上
闭式公式：几何分布 p_k = β^k/(1+β)^{k+1}，方差 β(1+β)
参数负二项、几何、对数分布的 β 1.5计数分布几何分布 Geom(β)（从 0 开始）其余用默认值
项标准答案平台算出
方差 Var(N)var 3.75 3.75
概率 p_k表 pmf · k=2 0.144 0.144
允许误差 1×10⁻¹²

项	标准答案	平台算出
概率 p_k表 pmf · k=0	0	0
概率 p_k表 pmf · k=1	0.313035	0.31303529
概率 p_k表 pmf · k=2	0.313035	0.31303529
概率 p_k表 pmf · k=3	0.20869	0.20869019

项	标准答案	平台算出
概率 p_k表 pmf · k=0	0.6	0.6
概率 p_k表 pmf · k=1	0.125214	0.12521411
概率 p_k表 pmf · k=2	0.125214	0.12521411
概率 p_k表 pmf · k=3	0.083476	0.083476076

项	标准答案	这次算出
均值 E[N]mean	9	9
P'(1) = E[N]pgf_d1	9	9
P''(1) = E[N(N−1)]pgf_d2	108	108
方差 Var(N)var	36	36

项	标准答案	平台算出
均值 E[N]mean	1.442695	1.442695
方差 Var(N)var	0.8040211	0.8040211
概率 p_k表 pmf · k=1	0.72134752	0.72134752

项	标准答案	平台算出
均值 E[N]mean	1.2071068	1.2071068
概率 p_k表 pmf · k=1	0.85355339	0.85355339

项	标准答案	平台算出
均值 E[N]mean	1.487387	1.487387
概率母函数 P(0.5)pgf	0.39090017	0.39090017

项	标准答案	平台算出
方差 Var(N)var	3.75	3.75
概率 p_k表 pmf · k=2	0.144	0.144

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行849 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.frequency_severity import counting34result = counting.counting(5    dist="negbin",6    variant="base",7    lam=2,8    m=10,9    q=0.2,10    r=3,11    beta=3,12    p0m=0.6,13    kmax=12,14    z=0.5,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）3.2–3.5 节；附录 D 计数分布
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 6 章 Discrete distributions；附录 B

覆盖的考试公式

PRB-007常用离散分布（泊松、二项、几何、负二项）FAMASTAMMAS-ICS1
FRS-005(a,b,0) 与 (a,b,1) 分布族、零截断与零修正FAMASTAMMAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用 (a,b,0)/(a,b,1) 递推算概率表，给出 a、b、均值、方差、偏度、概率母函数，并和 scipy 对照。

说明和限制

参数按精算教材：负二项 NB(r, β) 的均值 rβ、方差 rβ(1+β)；scipy 的 nbinom(n=r, p=1/(1+β))。
几何分布从 0 开始（Geom(β) = NB(1, β)）；对数分布从 1 开始，本身就是 (a,b,1) 类。
零截断和零修正时，负二项的 r 可以在 −1 和 0 之间（扩展的截断负二项 ETNB）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

频率与强度，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“出险次数服从泊松、二项、负二项、几何或对数分布（可以零截断、零修正）时，各次数的概率、均值、方差是多少？”