混合计数分布：好坏司机和泊松-伽马

人群里有好司机和坏司机，或者每个人的出险率不同时，整体的出险次数分布是什么？比单一泊松多出多少方差？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS1IFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 6 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

混合的方式

各类的比例 w_j2 个数

有限混合

最小 0.25最大 0.75均值 0.5

1–3 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各类的泊松 λ_j2 个数 · 次

有限混合

最小 0.1最大 0.5均值 0.3

1–3 个数，每个在 0.000001–100 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

概率表算到 k

2100

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 1.1 秒 · 缓存 · 11/14 22:21 运行

均值 E[N]: 0.2次
方差 Var(N): 0.23次²
E[Var(N|Λ)]（类内）: 0.2次²
Var(E[N|Λ])（类间）: 0.03次²
方差 / 均值: 1.15
P(N = 0): 0.830261
同均值泊松的 P(N = 0): 0.818731

混合分布和同均值泊松的概率

混合分布
同均值泊松

纵轴：概率

混合分布：0.75·Poi(0.1) + 0.25·Poi(0.5)。
方差比同均值的泊松多 0.03（来自各人出险率的差别）。

混合分布和同均值泊松的概率pmf9 行 · 4 列

结果表混合分布和同均值泊松的概率
次数 k	混合分布 p_k	同均值泊松	两者之比
0	0.830261	0.818731	1.01408
1	0.143679	0.163746	0.87745
2	0.0223472	0.0163746	1.36475
3	0.00327212	0.00109164	2.99743
4	0.000397704	0.00005458	7.28636
5	0.00003954	0.000002183	18.1123
6	0.000003292	7.28×10⁻⁸	45.2289
7	2.35×10⁻⁷	2.08×10⁻⁹	113.046
8	1.47×10⁻⁸	5.2×10⁻¹¹	282.603

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：0.3 Poi(2) + 0.7 Poi(0.5)，E[N] = 0.95，Var = E[Var] + Var(E) = 0.95 + (1.375 − 0.9025)
参数混合的方式有限混合：几类人，各自是泊松各类的泊松 λ_j 2 个数各类的比例 w_j 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
均值 E[N]mean 0.95 0.95
方差 Var(N)var 1.4225 1.4225
Var(E[N|Λ])（类间）var_between 0.4725 0.4725
混合分布 p_k表 pmf · 第 1 行 0.46517205 0.46517205
允许误差 1×10⁻⁹
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：泊松-伽马混合是 NB(r = α, β = θ)，p₀ = (1+β)^{−r}，p₁ = rβ/(1+β)^{r+1}，方差 rβ(1+β)
参数伽马的形状 α 2混合的方式连续混合：出险率 Λ ~ Gamma(α, θ)，得到负二项伽马的尺度 θ 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
均值 E[N]mean 1 1
方差 Var(N)var 1.5 1.5
混合分布 p_k表 pmf · 第 1 行 0.44444444 0.44444444
混合分布 p_k表 pmf · 第 2 行 0.2962963 0.2962963
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
均值 E[N]mean	0.95	0.95
方差 Var(N)var	1.4225	1.4225
Var(E[N\|Λ])（类间）var_between	0.4725	0.4725
混合分布 p_k表 pmf · 第 1 行	0.46517205	0.46517205

项	标准答案	平台算出
均值 E[N]mean	1	1
方差 Var(N)var	1.5	1.5
混合分布 p_k表 pmf · 第 1 行	0.44444444	0.44444444
混合分布 p_k表 pmf · 第 2 行	0.2962963	0.2962963

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行1.1 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.frequency_severity import count_mixture34result = count_mixture.count_mixture(5    kind="finite",6    weights=[0.75, 0.25],7    lams=[0.1, 0.5],8    alpha=2,9    theta=0.1,10    kmax=8,11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）3.6 节混合分布
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models7.3 节 Mixed frequency distributions

覆盖的考试公式

PRB-004全期望与全方差公式FAMMAS-ICS1
FRS-002混合分布与拼接分布FAMASTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

有限混合（最多 3 类泊松）或泊松-伽马混合（得到负二项）：概率表、均值、全方差分解，并和同均值的泊松比较。

说明和限制

有限混合的比例会自动除以它们的和。
泊松-伽马：伽马的 θ 是尺度（均值 αθ），得到 NB(r = α, β = θ)。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

频率与强度，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“人群里有好司机和坏司机，或者每个人的出险率不同时，整体的出险次数分布是什么？比单一泊松多出多少方差？”