同均值、同变异系数，比较尾部

均值和变异系数相同的伽马、对数正态、威布尔、Pareto 等分布，高分位数和超额损失差多少？

SOA FAMSOA ASTAMIFoA CS2IFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 4 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输出

用时 1.0 秒 · 缓存 · 11/14 22:21 运行

均值: 1,000元
变异系数: 1.5
99.9% 分位数最大的分布: 对数正态分布（μ = 6.31843, σ = 1.08566）
99.9% 分位数的最大值 / 最小值: 1.35471

生存函数（对数刻度）

伽马分布
对数正态分布
威布尔分布
Pareto 分布（两参数，Lomax）
逆伽马分布

纵轴：S(x)

各分布的尾部指标fits5 行 · 9 列

结果表各分布的尾部指标
分布和参数	VaR 95%	VaR 99%	VaR 99.9%	TVaR 99%	P(X > 5 倍均值)	P(X > 10 倍均值)	E[X∧10000]	矩存在到几阶
伽马分布（α = 0.444444, θ = 2250）	4,005.03	7,077.06	11,728.53	9,088.57	0.0293004	0.00232604	995.206	全部
对数正态分布（μ = 6.31843, σ = 1.08566）	3,308.26	6,933	15,888.73	10,736.03	0.0214192	0.00386386	981.365	全部
威布尔分布（τ = 0.684773, θ = 773.227）	3,838.51	7,192.34	13,002.39	9,680.38	0.0275925	0.00311639	991.533	全部
Pareto 分布（两参数，Lomax）（α = 3.6, θ = 2600）	3,375.45	6,743.92	15,113.59	10,337.73	0.0210366	0.00340855	983.482	3.6
逆伽马分布（α = 2.44444, θ = 1444.44）	2,640.31	5,529.09	14,865.75	9,659.6	0.0125435	0.00254944	981.593	2.44444

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.2.1：Pareto 均值 40、方差 1800，α = 18，θ = 680，95% 分位数 θ[(0.05)^{−1/α} − 1]
参数变异系数 1.0607要比较的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）均值 40 元其余用默认值
项标准答案平台算出
alpha表 fits · dist=pareto 18 18
theta表 fits · dist=pareto 680 680
VaR 95%表 fits · dist=pareto 123.1346 123.13464
说明：书里取整后写 α = 18.02、θ = 680.72、95% 分位数 122.96；精确解是 α = 18、θ = 680、123.13。
允许误差 0.001
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：对数正态 σ² = ln(1 + CV²)；伽马 α = 1/CV²
参数变异系数 1.0607要比较的分布对数正态分布 LN(μ, σ)、伽马分布 Gamma(α, θ)均值 40 元其余用默认值
项标准答案平台算出
alpha表 fits · dist=gamma 0.88888889 0.88888889
sigma表 fits · dist=lognormal 0.86820032 0.86820032
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
alpha表 fits · dist=pareto	18	18
theta表 fits · dist=pareto	680	680
VaR 95%表 fits · dist=pareto	123.1346	123.13464

项	标准答案	平台算出
alpha表 fits · dist=gamma	0.88888889	0.88888889
sigma表 fits · dist=lognormal	0.86820032	0.86820032

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：4 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 10 行1.0 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.frequency_severity import tails34result = tails.same_mean_cv(5    dists=["gamma", "lognormal", "weibull", "pareto", "inv_gamma"],6    mean=1000,7    cv=1.5,8    u=10000,9)10print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）例 4.2.1
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models5.3 节

覆盖的考试公式

FRS-003尾部比较与平均超额损失FAMASTAMSP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按同一个均值和变异系数确定每个分布的参数，比较 VaR、TVaR、超过几倍均值的概率、有限期望值和矩的存在性。

说明和限制

变异系数不超过 1 时两参数 Pareto 无解；指数分布只在变异系数等于 1 时有解。无解的分布写在说明里。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

频率与强度，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“均值和变异系数相同的伽马、对数正态、威布尔、Pareto 等分布，高分位数和超额损失差多少？”