连续混合：参数随机的损失分布

每张保单的损失分布参数不同、参数本身服从某个分布时，整体损失的分布、均值和方差是什么？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 7 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

混合的方式

混合分布的形状 α

伽马、逆伽马

0.11,000

混合分布的尺度 θ

伽马、逆伽马

0100,000 万

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 945 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:21 运行

边际分布: Pareto 分布（两参数，Lomax）（α = 3, θ = 100）
边际分布的 θ: 100
E[X] = E[E[X|Θ]]: 50
Var(X): 7,500
E[Var(X|Θ)]: 5,000
Var(E[X|Θ]): 2,500
数值积分和闭式密度的最大相对差: 9.22×10⁻¹⁰

边际密度：闭式和数值积分

闭式
数值积分

纵轴：密度

边际分布：Pareto 分布（两参数，Lomax）（α = 3, θ = 100）。

方差的分解decomp3 行 · 2 列

结果表方差的分解
方差的组成	值
E[Var(X\|Θ)]：条件分布自身的波动	5,000
Var(E[X\|Θ])：参数不同带来的波动	2,500
Var(X)：合计	7,500

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
闭式公式：Pareto(α = 3, θ = 100) 的均值 θ/(α−1) = 50，方差 αθ²/((α−1)²(α−2)) = 7500
参数混合分布的形状 α 3混合的方式 X|Λ ~ 指数（均值 1/Λ），Λ ~ Gamma(α, θ) → Pareto(α, 1/θ)混合分布的尺度 θ 0.01其余用默认值
项标准答案这次算出
边际分布的 θmarginal_theta 100 100
E[X] = E[E[X|Θ]]mean 50 50
Var(X)var 7,500 7,500
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：E[Var(X|M)] = σ² = 4，Var(E[X|M]) = s² = 9
参数混合的方式 X|M ~ N(M, σ²)，M ~ N(μ, s²) → N(μ, σ² + s²)混合正态的均值 μ 10混合正态的标准差 s 3条件分布的 σ 2其余用默认值
项标准答案平台算出
E[Var(X|Θ)]e_var 4 4
E[X] = E[E[X|Θ]]mean 10 10
Var(X)var 13 13
Var(E[X|Θ])var_e 9 9
允许误差 1×10⁻¹²
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：广义 Pareto(α = 4, τ = 2, θ = 300) 均值 τθ/(α−1) = 200，方差 τ(τ+α−1)θ²/((α−1)²(α−2)) = 50000
参数条件伽马的形状 a 2混合分布的形状 α 4混合的方式 X|Θ ~ Gamma(a, Θ)，Θ ~ InvGamma(α, θ) → 广义 Pareto(α, τ = a, θ)混合分布的尺度 θ 300其余用默认值
项标准答案平台算出
E[X] = E[E[X|Θ]]mean 200 200
Var(X)var 50,000 50,000
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	这次算出
边际分布的 θmarginal_theta	100	100
E[X] = E[E[X\|Θ]]mean	50	50
Var(X)var	7,500	7,500

项	标准答案	平台算出
E[Var(X\|Θ)]e_var	4	4
E[X] = E[E[X\|Θ]]mean	10	10
Var(X)var	13	13
Var(E[X\|Θ])var_e	9	9

项	标准答案	平台算出
E[X] = E[E[X\|Θ]]mean	200	200
Var(X)var	50,000	50,000

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行945 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.frequency_severity import continuous_mixture34result = continuous_mixture.continuous_mixture(5    kind="exp_gamma",6    alpha=3,7    theta=0.01,8    a=2,9    mu=7,10    sigma=0.5,11    s=0.3,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.3.5 节连续混合
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models5.2.4 节 Mixing

覆盖的考试公式

PRB-004全期望与全方差公式FAMMAS-ICS1
FRS-002混合分布与拼接分布FAMASTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

四种常见的连续混合（指数-伽马得 Pareto、伽马-逆伽马得广义 Pareto、正态-正态、对数正态-正态）：边际分布、全期望、全方差分解，并用数值积分核对边际密度。

说明和限制

指数-伽马里，伽马分布描述的是出险强度 Λ（指数分布的速率），θ 是伽马的尺度，所以得到 Pareto(α, 1/θ)。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

频率与强度，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每张保单的损失分布参数不同、参数本身服从某个分布时，整体损失的分布、均值和方差是什么？”