VaR 和 TVaR（参数分布的闭式公式）

损失服从某个分布时，99% 置信水平的 VaR 是多少？超过它的损失平均有多大（TVaR、ES）？

SOA FAMSOA ASTAMIFoA CM2IFoA SP8按输入的参数计算

公式

\displaystyle \mathrm{VaR}_p(X)=F_X^{-1}(p)

\displaystyle \mathrm{TVaR}_p(X)=\mathrm{E}[X\mid X>\mathrm{VaR}_p]=\frac{1}{1-p}\int_p^1\mathrm{VaR}_u\,du=\mathrm{VaR}_p+\frac{\mathrm{E}[X]-\mathrm{E}[X\wedge \mathrm{VaR}_p]}{1-p}

\displaystyle N:\ \mu+\sigma\frac{\phi(z_p)}{1-p}

\displaystyle LN:\ e^{\mu+\sigma^2/2}\frac{\Phi(\sigma-z_p)}{1-p}

\displaystyle \mathrm{Pareto}:\ \mathrm{VaR}_p+\frac{\mathrm{VaR}_p+\theta}{\alpha-1}

对过的标准答案: 6 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 6 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

损失的分布

正态的均值，对数正态的 ln 尺度均值

范围 -100 万到 10,000 万

正态的标准差，对数正态的 ln 尺度标准差

0.0011,000 万

置信水平 p

0.50.9999

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：对数正态分布 LN(μ = 7, σ = 1)

输出

用时 820 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

期望损失 E[X]: 1,808.04元
标准差: 2,370.04元
VaR（p = 0.99）: 1.123 万元
TVaR / ES（p = 0.99）: 1.67 万元
TVaR ÷ VaR: 1.48704
VaR − 期望（非预期损失）: 9,422元

置信水平和 VaR、TVaR

VaR
TVaR

纵轴：金额（元）

各置信水平的 VaR 和 TVaRlevels8 行 · 4 列

结果表各置信水平的 VaR 和 TVaR
置信水平 p	相当于几年一遇	VaR（元）	TVaR（元）
0.5	2	1,096.63	3,042.37
0.75	4	2,152.72	4,538.93
0.9	10	3,950.32	7,035.88
0.95	20	5,680.84	9,384.14
0.975	40	7,785.08	12,188.86
0.99	100	11,230.04	16,699.49
0.995	200	14,412.18	20,804.27
0.999	1,000	24,106.39	33,084.41

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版 13.3 节：均值 31.71 的指数分布，VaR_0.95 = 95（和 U[0,100] 的 VaR 相同）
参数损失的分布指数分布 Exp(θ)置信水平 p 0.95尺度参数 θ 31.71 元其余用默认值
项标准答案平台算出
VaR（p = 0.99）var 95 94.99467
说明：精确值 −31.71·ln 0.05 = 94.9947，书里取整为 95
允许误差 0.01
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：标准正态 z_0.95 = 1.6448536，TVaR = φ(z)/0.05 = 2.0627128
参数损失的分布正态分布 N(μ, σ²)μ 0置信水平 p 0.95σ 1其余用默认值
项标准答案平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar 2.0627128 2.0627128
VaR（p = 0.99）var 1.6448536 1.6448536
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
数值积分核对：LN(0,1) 的 VaR_0.99 = e^{2.3263}，TVaR = ∫ x f(x) dx / 0.01（scipy quad 独立计算）
参数损失的分布对数正态分布 LN(μ, σ)μ 0置信水平 p 0.99σ 1其余用默认值
项标准答案平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar 15.22796 15.22796
VaR（p = 0.99）var 10.240474 10.240474
允许误差 0.00001
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：Pareto(3, 200)，VaR = 200(0.01^{-1/3} − 1)，TVaR = VaR + (VaR + θ)/(α − 1)
参数形状参数 α 3损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）置信水平 p 0.99尺度参数 θ 200 元其余用默认值
项标准答案平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar 1,192.4767 1,192.4767
VaR（p = 0.99）var 728.31777 728.31777
允许误差 0.0001
第 5 条
平台算出的数对得上
独立数值核对：Gamma(2, 500) 的生存函数 (1 + x/θ)e^{−x/θ} = 0.05 用 brentq 求根，TVaR = VaR + ∫S(x)dx/0.05 用 quad 积分
参数形状参数 α 2损失的分布伽马分布 Gamma(α, θ)置信水平 p 0.95尺度参数 θ 500 元其余用默认值
项标准答案平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar 2,958.9817 2,958.9817
VaR（p = 0.99）var 2,371.9323 2,371.9323
允许误差 0.0001
第 6 条
平台算出的数对得上
独立数值核对：Weibull(τ = 0.5, θ = 1000)，VaR = θ(−ln 0.01)^{1/τ}，TVaR = VaR + ∫S(x)dx/0.01（quad）
参数形状参数 α 0.5损失的分布威布尔分布 Weibull(τ = α, θ)置信水平 p 0.99尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar 32,417.933 32,417.933
VaR（p = 0.99）var 21,207.592 21,207.592
允许误差 0.001

项	标准答案	平台算出
VaR（p = 0.99）var	95	94.99467

项	标准答案	平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar	2.0627128	2.0627128
VaR（p = 0.99）var	1.6448536	1.6448536

项	标准答案	平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar	15.22796	15.22796
VaR（p = 0.99）var	10.240474	10.240474

项	标准答案	平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar	1,192.4767	1,192.4767
VaR（p = 0.99）var	728.31777	728.31777

项	标准答案	平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar	2,958.9817	2,958.9817
VaR（p = 0.99）var	2,371.9323	2,371.9323

项	标准答案	平台算出
TVaR / ES（p = 0.99）tvar	32,417.933	32,417.933
VaR（p = 0.99）var	21,207.592	21,207.592

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行820 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.risk_measures import var_tvar34result = var_tvar.var_tvar(5    dist="lognormal",6    mu=7,7    sigma=1,8    alpha=3,9    theta=1000,10    p=0.99,11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）13.3 Risk Measures
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models风险度量一节：VaR 和 TVaR；附录 A 分布表

覆盖的考试公式

RSK-002VaR 与 TVaRFAMCM2SP8
RSK-003正态与对数正态的 VaR/TVaR 闭式CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

正态、对数正态、指数、Pareto、伽马、威布尔 6 种分布的 VaR 和 TVaR 闭式公式，各置信水平的表和曲线。

说明和限制

连续分布上 TVaR、ES（期望亏损）、CTE（条件尾部期望）相等。离散分布或样本用 risk_measures.sample_var_tvar。
两参数 Pareto 是 scipy 的 lomax；伽马和威布尔的 θ 是尺度参数，不是速率。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

风险度量，还有 7 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“损失服从某个分布时，99% 置信水平的 VaR 是多少？超过它的损失平均有多大（TVaR、ES）？”