一致性风险度量：4 个性质的数值验证 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每笔风险全损的概率 q

0.00010.5

全损的金额元

1 元100,000 万元

VaR、TVaR 的置信水平 p

0.50.9999

标准差原理的系数 k

010

方差原理的系数 a

1/元

01

期望值原理的附加率 θ

05

平移的常数 c元

检验平移不变性

范围 -100,000 万元到 100,000 万元

没有用数据：按输入的参数计算

两笔独立的风险，各以概率 0.04 损失 100 元

输出

用时 161 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

单笔的 VaR（p = 0.95）: 0元
两笔合起来的 VaR: 100元
VaR 的分散化效果 2·VaR(X) − VaR(X+Y): -100元
单笔的 TVaR（p = 0.95）: 80元
两笔合起来的 TVaR: 103.2元
标准差原理违反单调性的最小 k: 4.89898

合起来的风险度量 − 分开算的和（大于 0 就违反次可加性）

VaR
TVaR

纵轴：差额（元）

本例中常数 m = 100 元。

X + Y 的分布distribution3 行 · 2 列

结果表 X + Y 的分布
X+Y 的取值（元）	概率
0	0.9216
100	0.0768
200	0.0016

各风险度量满足的性质properties5 行 · 11 列

结果表各风险度量满足的性质
风险度量	ρ(X)	ρ(X+Y)	ρ(X)+ρ(Y)	次可加	ρ(2X)	正齐次	ρ(X+c)	平移不变	ρ(常数 m)	单调（X ≤ m）
VaR	0	100	0	不满足	0	满足	10	满足	100	满足
TVaR	80	103.2	160	满足	160	满足	90	满足	100	满足
标准差原理 E + 1σ	23.5959	35.7128	47.1918	满足	47.1918	满足	33.5959	满足	100	满足
方差原理 E + 0.01σ²	7.84	15.68	15.68	满足	23.36	不满足	17.84	满足	100	满足
期望值原理 (1 + 0.2)E	4.8	9.6	9.6	满足	9.6	满足	16.8	不满足	120	满足

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02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
手算：P(X+Y=0, 100, 200) = 0.9216, 0.0768, 0.0016。VaR_0.95(X) = 0，VaR_0.95(X+Y) = 100；TVaR_0.95(X) = 0.04·100/0.05 = 80，TVaR_0.95(X+Y) = (0.0016·200 + 0.0484·100)/0.05 = 103.2
参数VaR、TVaR 的置信水平 p 0.95全损的金额 100 元每笔风险全损的概率 q 0.04其余用默认值
项标准答案这次算出
单笔的 TVaR（p = 0.95）tvar_single 80 80
两笔合起来的 TVaRtvar_sum 103.2 103.2
单笔的 VaR（p = 0.95）var_single 0 0
两笔合起来的 VaRvar_sum 100 100
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
这次算出的数对得上
手算：X ≤ 100，标准差原理 E[X] + kσ_X 超过 100 的条件 k > (100 − 4)/√(100²·0.04·0.96) = √24
参数标准差原理的系数 k 1VaR、TVaR 的置信水平 p 0.95全损的金额 100 元每笔风险全损的概率 q 0.04其余用默认值
项标准答案这次算出
标准差原理违反单调性的最小 ksd_monotone_k 4.8989795 4.8989795
允许误差 1×10⁻⁸
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
单笔的 TVaR（p = 0.95）tvar_single	80	80
两笔合起来的 TVaRtvar_sum	103.2	103.2
单笔的 VaR（p = 0.95）var_single	0	0
两笔合起来的 VaRvar_sum	100	100

项	标准答案	这次算出
标准差原理违反单调性的最小 ksd_monotone_k	4.8989795	4.8989795

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行161 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.risk_measures import coherence34result = coherence.coherence(5    q=0.04,6    loss=100,7    level=0.95,8    k_sd=1,9    a_var=0.01,10    load_ev=0.2,11    c=10,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）13.3 Risk Measures
Artzner、Delbaen、Eber、Heath (1999) Coherent measures of risk

覆盖的考试公式

RSK-001一致性风险度量的四个性质FAMCM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

两笔独立的贷款（或保单）各有小概率全损。逐条验证 VaR、TVaR、标准差原理、方差原理、期望值原理是否满足平移不变、正齐次、次可加、单调。

说明和限制

两笔风险独立，各以概率 q 损失全部金额，否则没有损失。所有量都按离散分布精确计算，没有模拟。
q < 1 − p 时单笔的 VaR 是 0，合起来的 VaR 可能是全损金额：VaR 不满足次可加性。TVaR 满足全部 4 个性质。
标准差原理在 X ≤ 常数 m 的例子里，k 超过 (m − E[X])/σ_X 时违反单调性：保费超过了最大可能的损失。
期望值原理不满足平移不变性（常数也加了附加），方差原理不满足正齐次性。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

风险度量，还有 7 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“VaR 为什么不是一致性风险度量？把两笔风险合在一起，VaR 反而变大的例子是什么？”