保费原理：期望值、方差、标准差、指数、Esscher · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

损失的分布

形状参数 α

Pareto、伽马的 α，威布尔的 τ

0.05100

尺度参数 θ元

指数、Pareto、伽马、威布尔

0 元100,000 万元

期望值原理的附加率 θ

05

方差原理的系数 a

1/元

01

标准差原理的系数 k

010

指数原理的风险厌恶系数 a

1/元

010

Esscher 原理的 h

1/元

010

其余 3 个参数

PH 变换的 ρ

110

Wang 变换的 λ

-35

百分位原理的 p

0.50.9999

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：伽马分布 Gamma(α = 2, θ = 500)

输出

用时 1.0 秒 · 11/14 22:21 运行

期望损失 E[X]: 1,000元
标准差: 707.107元
期望值原理: 1,200元
方差原理: 1,100元
标准差原理: 1,212.13元
指数原理（零效用）(1/a)·ln: 1,150.73元
Esscher: 1,176.47元
比例风险变换: 1,137.87元
Wang: 1,177.62元
百分位原理: 1,346.32元

各原理的附加率

纵轴：附加率

各保费原理的保费premiums8 行 · 4 列

结果表各保费原理的保费
保费原理	保费（元）	风险附加（元）	附加率
期望值原理 (1+θ)E[X]	1,200	200	0.2
方差原理 E[X] + a·Var(X)	1,100	100	0.1
标准差原理 E[X] + k·σ	1,212.13	212.132	0.212132
指数原理（零效用）(1/a)·ln E[e^{aX}]	1,150.73	150.728	0.150728
Esscher 原理 E[X e^{hX}]/E[e^{hX}]	1,176.47	176.471	0.176471
比例风险变换 ∫ S(x)^{1/ρ} dx	1,137.87	137.871	0.137871
Wang 变换 ∫ Φ(Φ⁻¹(S(x)) + λ) dx	1,177.62	177.617	0.177617
百分位原理 VaR_p	1,346.32	346.317	0.346317

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02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

闭式公式手算（指数分布 θ = 100）：120；100 + 0.001·100²；100 + 0.5·100；(1/a)ln(1/(1 − aθ)) = 200 ln 2；θ/(1 − hθ) = 200；PH 变换 ρθ = 150

参数指数原理的风险厌恶系数 a 0.005方差原理的系数 a 0.001损失的分布指数分布 Exp(θ)Esscher 原理的 h 0.005标准差原理的系数 k 0.5PH 变换的 ρ 1.5尺度参数 θ 100 元期望值原理的附加率 θ 0.2其余用默认值

项	标准答案	平台算出
保费（元）表 premiums · key=esscher	200	200
保费（元）表 premiums · key=ev	120	120
保费（元）表 premiums · key=exponential	138.62944	138.62944
保费（元）表 premiums · key=ph	150	150
保费（元）表 premiums · key=sd	150	150
保费（元）表 premiums · key=variance	110	110

允许误差 0.000001

第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算（Gamma(2, 100)）：(α/a)ln(1/(1 − aθ)) = 1000·ln 1.25；αθ/(1 − hθ) = 200/0.8
参数指数原理的风险厌恶系数 a 0.002形状参数 α 2损失的分布伽马分布 Gamma(α, θ)Esscher 原理的 h 0.002尺度参数 θ 100 元其余用默认值
项标准答案平台算出
保费（元）表 premiums · key=esscher 250 250
保费（元）表 premiums · key=exponential 223.14355 223.14355
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：τ = 1 的威布尔就是指数分布 θ = 100，检验数值积分的矩母函数
参数指数原理的风险厌恶系数 a 0.005形状参数 α 1损失的分布威布尔分布 Weibull(τ = α, θ)Esscher 原理的 h 0.005尺度参数 θ 100 元其余用默认值
项标准答案平台算出
保费（元）表 premiums · key=esscher 200 200
保费（元）表 premiums · key=exponential 138.62944 138.62944
允许误差 0.0001

项	标准答案	平台算出
保费（元）表 premiums · key=esscher	250	250
保费（元）表 premiums · key=exponential	223.14355	223.14355

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行1.0 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.risk_measures import premium_principles34result = premium_principles.premium_principles(5    dist="gamma",6    mu=7,7    sigma=1,8    alpha=2,9    theta=500,10    theta_ev=0.2,11    a_var=0.0002,12    k_sd=0.3,13    a_exp=0.0005,14    h_ess=0.0003,15    rho_ph=1.2,16    lam_wang=0.25,17    p_pct=0.75,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）10.9 Pricing Principles
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models风险度量和保费原理一节

这个方法算什么

8 种保费原理（期望值、方差、标准差、指数、Esscher、PH 变换、Wang 变换、百分位）的保费、风险附加和附加率，放在一张表里比较。

说明和限制

指数原理和 Esscher 原理要求矩母函数存在：对数正态和 Pareto 不存在，指数和伽马要求 a·θ < 1（或 h·θ < 1）。
期望值原理不满足平移不变；方差原理不满足正齐次；标准差原理不满足单调性。详见 risk_measures.coherence。
a、h 的单位是 1/元：金额的单位变了，系数也要跟着变。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验

05同族的方法

风险度量，还有 7 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“同一个风险，按期望值原理、标准差原理、指数原理、Esscher 原理等分别该收多少保费？”