扭曲风险度量：PH 变换和 Wang 变换 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

损失的分布

μ

正态的均值，对数正态的 ln 尺度均值

范围 -100 万到 10,000 万

σ

正态的标准差，对数正态的 ln 尺度标准差

0.0011,000 万

扭曲函数

PH 变换的风险厌恶系数 ρ

≥ 1

110

Wang 变换的 λ

-35

对偶幂变换的 r

≥ 1

120

TVaR 的置信水平 p

0.010.9999

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：对数正态分布 LN(μ = 7, σ = 1)

输出

用时 1.6 秒 · 缓存 · 11/14 22:23 运行

期望损失 E[X]: 1,808.04元
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）: 3,143.57元
风险附加 ρ_g(X) − E[X]: 1,335.53元
附加率: 73.87%

扭曲函数 g(s)：生存概率 s 被放大成 g(s)

不扭曲 g(s) = s
比例风险变换
Wang 变换
对偶幂变换
TVaR 的扭曲函数

纵轴：g(s)

各扭曲函数的风险度量compare4 行 · 4 列

结果表各扭曲函数的风险度量
扭曲函数	ρ_g(X)（元）	风险附加（元）	附加率
比例风险变换 g(s) = s^{1/ρ}	3,143.57	1,335.53	0.738659
Wang 变换 g(s) = Φ(Φ⁻¹(s) + λ)	2,980.96	1,172.92	0.648721
对偶幂变换 g(s) = 1 − (1 − s)^r	2,749.13	941.086	0.5205
TVaR 的扭曲函数 g(s) = min(s/(1 − p), 1)	9,384.14	7,576.1	4.19022

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：指数分布的 PH 变换 ∫ e^{−x/(ρθ)}dx = ρθ = 1500
参数损失的分布指数分布 Exp(θ)扭曲函数比例风险变换 g(s) = s^{1/ρ}PH 变换的风险厌恶系数 ρ 1.5尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g 1,500 1,500
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：Pareto(α, θ) 的 PH 变换是 Pareto(α/ρ, θ)，期望 θ/(α/ρ − 1) = 2000
参数形状参数 α 3损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）扭曲函数比例风险变换 g(s) = s^{1/ρ}PH 变换的风险厌恶系数 ρ 1.5尺度参数 θ 2,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g 2,000 2,000
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：Wang 变换把 LN(μ, σ) 变成 LN(μ + λσ, σ)，期望 e^{7 + 0.5 + 0.5} = e^8
参数损失的分布对数正态分布 LN(μ, σ)扭曲函数 Wang 变换 g(s) = Φ(Φ⁻¹(s) + λ)Wang 变换的 λ 0.5μ 7σ 1其余用默认值
项标准答案平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g 2,980.958 2,980.958
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：Wang 变换把 N(μ, σ²) 变成 N(μ + λσ, σ²)，100 + 0.3·20 = 106
参数损失的分布正态分布 N(μ, σ²)扭曲函数 Wang 变换 g(s) = Φ(Φ⁻¹(s) + λ)Wang 变换的 λ 0.3μ 100σ 20其余用默认值
项标准答案平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g 106 106
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：r = 2 的对偶幂变换是两个独立同分布损失的最大值的期望，指数分布为 1.5θ
参数损失的分布指数分布 Exp(θ)扭曲函数对偶幂变换 g(s) = 1 − (1 − s)^r对偶幂变换的 r 2尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g 1,500 1,500
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 6 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：TVaR_0.95 = θ(1 − ln 0.05) = 3995.7323（指数分布）
参数损失的分布指数分布 Exp(θ)扭曲函数 TVaR 的扭曲函数 g(s) = min(s/(1 − p), 1)TVaR 的置信水平 p 0.95尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g 3,995.7323 3,995.7323
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|

项	标准答案	平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g	1,500	1,500

项	标准答案	平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g	2,000	2,000

项	标准答案	平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g	2,980.958	2,980.958

项	标准答案	平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g	106	106

项	标准答案	平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g	1,500	1,500

项	标准答案	平台算出
扭曲后的期望 ρ_g(X)（比例风险变换）rho_g	3,995.7323	3,995.7323

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行1.6 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.risk_measures import distortion34result = distortion.distortion(5    dist="lognormal",6    mu=7,7    sigma=1,8    alpha=3,9    theta=1000,10    distortion="ph",11    rho=1.5,12    lam=0.5,13    r=2,14    p=0.95,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）13.3 Risk Measures
Wang (2000) A class of distortion operators for pricing financial and insurance risks
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models风险度量一节：扭曲风险度量

这个方法算什么

对生存函数做扭曲 g(S(x)) 再求期望：PH 变换、Wang 变换、对偶幂变换和 TVaR，给出风险调整后的期望、附加率和扭曲函数的图。

说明和限制

g 是凹函数时（PH 的 ρ ≥ 1、Wang 的 λ ≥ 0、对偶幂的 r ≥ 1、TVaR），扭曲风险度量是一致性风险度量。
积分用 scipy 的 quad 按分位数分段计算。Pareto 的 α/ρ ≤ 1（PH）或 α ≤ 1（其他）时期望无穷大。
Wang 变换作用在正态上等于把均值移动 λσ；作用在对数正态上等于把 μ 移动 λσ。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

风险度量，还有 7 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“用比例风险（PH）变换或 Wang 变换给一个风险定价，风险附加是多少？”