多状态保单的准备金（Thiele 方程） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

转移强度

死亡率基础（转移强度随年龄变化时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

随年龄变化：发病强度的倍数 f

010

随年龄变化：发病后的死亡强度 = k × 同龄死亡强度的 k

0.510

保险期间 n年

1 年50 年

残疾（生病）时每年给付 B元/年

0 元/年1,000 万元/年

其余 3 个参数

死亡给付 S元

0 元10,000 万元

利率 i%

0%15%

Euler 格式的步长 h

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

死亡率：AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）

输出

用时 245 毫秒 · 11/14 22:25 运行

年保费（健康时连续缴纳）: 352.584元/年
第 10 年末的准备金：健康: 623.341元
第 10 年末的准备金：残疾: 9.5 万元
0 时健康状态的准备金（应当是 0）: 2.18×10⁻¹²元
Euler 格式（h = 1 个月）的最大误差: 185.499元

每个状态的准备金

健康
残疾
Euler（残疾）

纵轴：元

强度：死亡 μ02：AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）；发病 μ01 = 1 × (4×10⁻⁴ + 3.4674×10⁻⁶·e^(0.138155·x))；发病后的死亡 μ12 = 1 × μ02。
保险期间 20 年，残疾给付每年 12000 元，死亡给付 50000 元，利率 0.05。
纯保费准备金：不含费用。

各状态的准备金reserves21 行 · 7 列

结果表各状态的准备金
t（年）	年龄	准备金：健康	准备金：残疾	Euler：健康	Euler：残疾	Euler 的误差（残疾）
0	40	2.18×10⁻¹²	152,840.76	8.26594	153,026.26	185.499
1	41	128.718	148,239.57	136.792	148,424.9	185.334
2	42	247.97	143,409.5	255.739	143,594.19	184.688
3	43	355.836	138,339.06	363.171	138,522.57	183.511
4	44	450.296	133,016.08	457.056	133,197.82	181.748
5	45	529.265	127,427.72	535.296	127,607.06	179.341
6	46	590.65	121,560.42	595.789	121,736.65	176.225
7	47	632.427	115,399.8	636.502	115,572.13	172.328
8	48	652.743	108,930.61	655.58	109,098.19	167.573
9	49	650.059	102,136.65	651.49	102,298.52	161.874
10	50	623.341	95,000.66	623.212	95,155.8	155.136
11	51	572.309	87,504.24	570.494	87,651.49	147.255
12	52	497.76	79,627.69	494.182	79,765.8	138.113
13	53	401.999	71,349.89	396.656	71,477.47	127.581
14	54	289.394	62,648.11	282.393	62,763.62	115.513
15	55	167.093	53,497.83	158.698	53,599.57	101.746
16	56	45.9629	43,872.46	36.6582	43,958.56	86.0949
17	57	-58.1946	33,743.12	-67.6187	33,811.47	68.3508
18	58	-123.061	23,078.25	-131.393	23,126.53	48.2753
19	59	-117.732	11,843.25	-123.185	11,868.85	25.5961
20	60	0	0	0	0	0

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

常数强度的闭式解（手算）：P = ā01/ā00；V1(5) = ā^{11}_{5} = (1 − e^(−5(0.05+δ)))/(0.05+δ)；V0(5) = ā01(5 年) − P·ā00(5 年)

参数转移强度常数强度（有闭式解）残疾（生病）时每年给付 B 1 元/年死亡给付 S 0 元利率 i 5%模型永久残疾（健康 → 残疾 → 死亡，不能康复）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.02 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.01 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.05 每年保险期间 n 10 年其余用默认值

项	标准答案	平台算出
年保费（健康时连续缴纳）premium	0.081850292	0.081850292
准备金：健康表 reserves · 第 6 行	-0.15122923	-0.15122923
准备金：残疾表 reserves · 第 6 行	3.9456277	3.9456277

允许误差 1×10⁻⁸

第 2 条
平台算出的数对得上
Euler 格式（h = 1 年）按递推式手算：V1(t−1) = V1(t)(1 − δ − μ12) + B，从 V1(10) = 0 开始算 5 步
参数转移强度常数强度（有闭式解）残疾（生病）时每年给付 B 1 元/年死亡给付 S 0 元Euler 格式的步长 h 1 年利率 i 5%模型永久残疾（健康 → 残疾 → 死亡，不能康复）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.02 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.01 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.05 每年保险期间 n 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
Euler：残疾表 reserves · 第 6 行 4.1049679 4.1049679
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	平台算出
Euler：残疾表 reserves · 第 6 行	4.1049679	4.1049679

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：16 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 22 行245 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multistate import thiele34result = thiele.thiele(5    model="permanent_disability",6    basis="makeham",7    mortality="sult",8    age=40,9    mu01=0.02,10    mu02=0.01,11    mu10=0.1,12    mu12=0.05,13    inc_factor=1,14    rec_ratio=0.1,15    sick_mort=1,16    term=20,17    benefit=12000,18    death_benefit=50000,19    interest=0.05,20    euler_step="12",21)22print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 8 章 8.7 Policy values and Thiele's differential equation
Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 7 章 7.5.2 Thiele 方程的 Euler 解法

覆盖的考试公式

MST-008多状态 Thiele 微分方程（Euler 解法）ALTAMCM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

在永久残疾、可康复的残疾或重疾模型里，按等价原理定保费，再从期满往回解多状态 Thiele 微分方程，得到每个状态的准备金。比较 Euler 格式（步长可选）和 4 阶 Runge-Kutta 的结果。

说明和限制

保费：按等价原理，连续缴纳、只在健康时缴（精算现值由前向方程算出）。所以健康状态在 0 时的准备金应当是 0，结果里写出了数值误差。
残疾给付连续给付，没有等待期（有等待期时准备金还和残疾持续的时间有关）。死亡给付不论死前在哪个状态。
Euler 格式：从 V(n) = 0 开始，V(t − h) = V(t) − h·V′(t)，V′ 在 t 处算。参照值用 4 阶 Runge-Kutta，每年 48 到 120 步。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多状态与多减因，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一张残疾收入保单，第 t 年末健康的人和残疾的人各要提多少准备金？用 Euler 格式算差多少？”