残疾收入保险的精算现值和保费

残疾收入保险（残疾后每年给付）的保费是多少？等待期、按月缴费对保费有多大影响？

SOA ALTAMIFoA CM1

公式

\displaystyle \bar a_{x:\overline{n}|}^{ij}=\int_0^n v^t\,{}_tp_x^{ij}\,dt

\displaystyle \bar A_{x:\overline{n}|}^{ij}=\int_0^n v^t\sum_{k\ne j}{}_tp_x^{ik}\mu_{x+t}^{kj}\,dt

\displaystyle \mathrm{EPV}_w=B\int_0^{n-w}v^t\,{}_tp_x^{00}\mu_{x+t}^{01}\Big(\bar a^{\overline{11}}_{x+t:\overline{n-t}|}-\bar a^{\overline{11}}_{x+t:\overline{w}|}\Big)dt

\displaystyle \ddot a_x^{(m)ii}\approx\ddot a_x^{ii}-\frac{m-1}{2m}-\frac{m^2-1}{12m^2}\Big(\delta+\sum_{j\ne i}\mu_x^{ij}\Big)

\displaystyle \ddot a_x^{(m)ij}\approx\ddot a_x^{ij}+\frac{m^2-1}{12m^2}\mu_x^{ij}

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 17 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

转移强度

死亡率基础（转移强度随年龄变化时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

随年龄变化：发病强度的倍数 f

010

随年龄变化：发病后的死亡强度 = k × 同龄死亡强度的 k

0.510

保险期间 n年

1 年50 年

等待期 w月

只用于永久残疾和重疾模型

0 月24 月

其余 4 个参数

残疾（生病）时每年给付 B元/年

0 元/年1,000 万元/年

死亡给付 S元

0 元10,000 万元

利率 i%

0%15%

保费缴纳的频率

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

死亡率：AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）

输出

用时 579 毫秒 · 11/14 22:24 运行

连续缴费的年保费（健康时缴）: 268.297元/年
每月 1 次缴费的年保费: 267.693元/年
健康时的年金 ā00（20 年）: 12.3732
残疾时的年金 ā01（扣除等待期）: 0.27664
死亡给付的精算现值 Ā0→死亡（每元）: 0.0149902

40 岁健康的人，t 年后在各状态的概率

健康
残疾
死亡

纵轴：概率

强度：死亡 μ02：AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）；发病 μ01 = 1 × (4×10⁻⁴ + 3.4674×10⁻⁶·e^(0.138155·x))；发病后的死亡 μ12 = 1 × μ02。
等待期 6 个月：残疾满 6 个月后开始给付。
纯保费：不含费用和利润。

各项的精算现值epv8 行 · 2 列

结果表各项的精算现值
项目	精算现值
健康时的年金 ā00	12.3732
残疾时的年金 ā01（不扣等待期）	0.30109
残疾时的年金（扣除 6 个月等待期）	0.27664
发病（转到“残疾”）的转移给付 Ā01（每元）	0.0506767
死亡给付 Ā（每元，不论死前在哪个状态）	0.0149902
残疾给付的精算现值（B = 12000）	3,319.68
死亡给付的精算现值（S = 0）	0
给付的精算现值合计	3,319.68

每年 12 次的年金：精确值和 Woolhouse 近似woolhouse2 行 · 6 列

结果表每年 12 次的年金：精确值和 Woolhouse 近似
年金	每年 1 次 ä	每年 12 次（精确）	Woolhouse 2 项	Woolhouse 3 项	3 项的误差
ä^(12)00 健康时缴费	12.71	12.4011	12.4034	12.4011	-1.08×10⁻⁷
ä^(12)01 残疾时给付	0.283511	0.299615	0.299747	0.299615	8.1×10⁻⁹

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
常数强度的闭式解（手算）：ā00 = (1 − e^(−(0.03+δ)·10))/(0.03+δ)；ā01 = μ01/(μ12 − 0.03)·(ā@0.03 − ā@0.05)，δ = ln 1.05
参数转移强度常数强度（有闭式解）残疾（生病）时每年给付 B 1 元/年死亡给付 S 0 元利率 i 5%模型永久残疾（健康 → 残疾 → 死亡，不能康复）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.02 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.01 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.05 每年保险期间 n 10 年等待期 w 0 月其余用默认值
项标准答案平台算出
健康时的年金 ā00（20 年）a00 6.9196692 6.9196692
残疾时的年金 ā01（扣除等待期）a01_w 0.56637695 0.56637695
允许误差 1×10⁻⁸
第 2 条
平台算出的数对得上
等待期 0.5 年：EPV = ∫_0^{9.5} e^(−(0.03+δ)t)·0.02·e^(−(0.05+δ)·0.5)·(1 − e^(−(0.05+δ)(9.5−t)))/(0.05+δ) dt，scipy.integrate.quad 独立计算
参数转移强度常数强度（有闭式解）残疾（生病）时每年给付 B 1 元/年死亡给付 S 0 元利率 i 5%模型永久残疾（健康 → 残疾 → 死亡，不能康复）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.02 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.01 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.05 每年保险期间 n 10 年等待期 w 6 月其余用默认值
项标准答案平台算出
残疾时的年金 ā01（扣除等待期）a01_w 0.49997622 0.49997622
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	平台算出
健康时的年金 ā00（20 年）a00	6.9196692	6.9196692
残疾时的年金 ā01（扣除等待期）a01_w	0.56637695	0.56637695

项	标准答案	平台算出
残疾时的年金 ā01（扣除等待期）a01_w	0.49997622	0.49997622

第 3 条

平台算出的数对得上

常数强度：f(t) = e^(−(0.03+δ)t)，按月的精确值 = (1/12)(1 − e^(−10(0.03+δ)))/(1 − e^(−(0.03+δ)/12))；3 项 Woolhouse 按公式手算

参数转移强度常数强度（有闭式解）残疾（生病）时每年给付 B 1 元/年保费缴纳的频率每月 1 次利率 i 5%模型永久残疾（健康 → 残疾 → 死亡，不能康复）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.02 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.01 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.05 每年保险期间 n 10 年等待期 w 0 月其余用默认值

项	标准答案	平台算出
每年 12 次（精确）表 woolhouse · 第 1 行	6.9424109	6.9424109
Woolhouse 3 项表 woolhouse · 第 1 行	6.9424105	6.9424105
Woolhouse 2 项表 woolhouse · 第 1 行	6.9459653	6.9459653

允许误差 1×10⁻⁸

第 4 条
平台算出的数对得上
SULT 死亡、Makeham 形式发病、μ10 = 0.1μ01、μ12 = μ02：scipy.integrate.solve_ivp（DOP853，rtol 1e-12）独立解前向方程，再用 quad 积分
参数年龄 x 40 岁转移强度随年龄变化：死亡用死亡率基础，发病用 Makeham 形式残疾（生病）时每年给付 B 1 元/年死亡给付 S 0 元随年龄变化：发病强度的倍数 f 1利率 i 5%模型可康复的残疾（健康 ⇄ 生病 → 死亡）死亡率基础 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）随年龄变化：康复强度 = r × 发病强度的 r 0.1随年龄变化：发病后的死亡强度 = k × 同龄死亡强度的 k 1保险期间 n 20 年其余用默认值
项标准答案平台算出
健康时的年金 ā00（20 年）a00 12.373918 12.373918
残疾时的年金 ā01（扣除等待期）a01_w 0.30035331 0.30035331
允许误差 0.000002

项	标准答案	平台算出
健康时的年金 ā00（20 年）a00	12.373918	12.373918
残疾时的年金 ā01（扣除等待期）a01_w	0.30035331	0.30035331

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：17 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 23 行579 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multistate import disability_income34result = disability_income.disability_income(5    model="permanent_disability",6    basis="makeham",7    mortality="sult",8    age=40,9    mu01=0.02,10    mu02=0.01,11    mu10=0.1,12    mu12=0.05,13    inc_factor=1,14    rec_ratio=0.1,15    sick_mort=1,16    term=20,17    waiting_months=6,18    benefit=12000,19    death_benefit=0,20    interest=0.05,21    freq="12",22)23print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 8 章 8.8 Premiums、8.6 等待期的残疾给付
Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 8 章多状态模型的 Woolhouse 公式

覆盖的考试公式

MST-005多状态保险与年金精算现值ALTAMCM1
MST-006多状态 Woolhouse 近似ALTAM
MST-010永久残疾模型与带等待期的残疾给付ALTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

在永久残疾、可康复的残疾或重疾模型里，算健康时的年金、残疾时的年金、死亡给付的精算现值，按等价原理算保费；永久残疾模型可以设等待期；按月缴费用精确值和多状态 Woolhouse 公式比较。

说明和限制

保费在健康时缴纳（残疾、生病时豁免），残疾给付在残疾期间连续给付，死亡给付在死亡时给付。
等待期：残疾满 w 后才开始给付，到保险期满为止。可康复的模型要记录残疾持续的时间（半马尔可夫），这里不算等待期。
多状态 Woolhouse 公式按 Euler-Maclaurin 展开推导：i ≠ j 时 f(0) = 0、f′(0) = μ^{ij}_x，所以只有第 3 项。公式表把 ij 的两种写法的符号印得不一致，这里按推导的结果。
积分用 Simpson 公式，每年 48 到 120 步；转移概率用 4 阶 Runge-Kutta 解前向方程。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多状态与多减因，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“残疾收入保险（残疾后每年给付）的保费是多少？等待期、按月缴费对保费有多大影响？”