转移强度和减因概率的估计

观察了一批人在某个状态停留的总时间和离开的次数，转移强度估计是多少？误差有多大？一年内离开的概率是多少？

SOA ALTAMIFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 3 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

在这个状态停留的总时间 T人年

人年

0.01 人年100,000 万人年

离开到各个状态的次数 D2 个数 · 次

每个去向一个数

最小 12最大 48均值 30

1–5 个数，每个在 0–1 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

置信水平

0.50.999

没有用数据：按输入的参数计算

输出

用时 831 毫秒 · 11/14 22:23 运行

离开的总强度 μ̂: 0.024每年
去向 1 的强度 μ̂: 0.0192每年
去向 1 的标准误: 0.00277128每年
一年内离开的概率 q̂^(τ): 2.37%

各去向的强度和 95% 置信区间

μ̂
上限

纵轴：每年

停留的总时间 2500 人年，共离开 60 次。

各去向的强度和单减因概率estimates2 行 · 10 列

结果表各去向的强度和单减因概率
去向	次数 D	强度 μ̂	方差	标准误	95% 下限	95% 上限	相关单减因概率 q̂′	q̂′ 的方差	多减因概率 q̂
去向 1	48	0.0192	0.00000768	0.00277128	0.0137684	0.0246316	0.0190169	0.000007391	0.0189714
去向 2	12	0.0048	0.00000192	0.00138564	0.00208419	0.00751581	0.0047885	0.000001902	0.00474286

开源库scipy1.17.1· BSD

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：μ̂ = 20/1000 = 0.02，Var = 20/1000² = 2×10⁻⁵，q̂′ = 1 − e^(−0.02)，Var(q̂′) = e^(−0.04) × 2×10⁻⁵

参数离开到各个状态的次数 D 2 个数在这个状态停留的总时间 T 1,000 人年其余用默认值

项	标准答案	平台算出
强度 μ̂表 estimates · 第 1 行	0.02	0.02
相关单减因概率 q̂′表 estimates · 第 1 行	0.019801327	0.019801327
方差表 estimates · 第 1 行	2.00000e-5	2.00000e-5
q̂′ 的方差表 estimates · 第 1 行	1.92158e-5	1.92158e-5

允许误差 1×10⁻¹²

第 2 条
平台算出的数对得上
手算（常数强度）：q̂^(1) = (0.02/0.025)(1 − e^(−0.025))
参数离开到各个状态的次数 D 2 个数在这个状态停留的总时间 T 1,000 人年其余用默认值
项标准答案平台算出
多减因概率 q̂表 estimates · 第 1 行 0.01975207 0.01975207
允许误差 1×10⁻¹¹

项	标准答案	平台算出
多减因概率 q̂表 estimates · 第 1 行	0.01975207	0.01975207

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：3 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 9 行831 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multistate import intensity_mle34result = intensity_mle.intensity_mle(5    waiting_time=2500,6    counts=[48, 12],7    confidence=0.95,8)9print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 8 章 8.14 Estimating transition intensities
IFoA CS2两状态和多状态模型的极大似然估计

覆盖的考试公式

MST-004转移强度的极大似然估计ALTAMCS2
MST-017减因概率的估计（常数减因力）ALTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

强度在一个年龄段内不变时，极大似然估计是转移次数除以停留的总时间，方差约为次数除以时间的平方；再换成相关单减因概率、多减因概率和置信区间。

说明和限制

假设在这段时间（通常是一岁）内强度不变，每个人的观察相互独立。时间按人年计。
置信区间用正态近似；次数很少时不准。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验

05同族的方法

多状态与多减因，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“观察了一批人在某个状态停留的总时间和离开的次数，转移强度估计是多少？误差有多大？一年内离开的概率是多少？”