多状态模型的转移概率（Kolmogorov 方程） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

转移强度

死亡率基础（转移强度随年龄变化时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

随年龄变化：发病强度的倍数 f

010

随年龄变化：发病后的死亡强度 = k × 同龄死亡强度的 k

0.510

时间长度 t年

1 年60 年

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

死亡率：AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）

输出

用时 211 毫秒 · 11/14 22:25 运行

10 年后还在“健康”的概率 p00: 97%
10 年后在“残疾”的概率 p01: 2.24%
10 年内死亡的概率 p02: 0.77%
停留概率：10 年内一直健康: 97%
从“残疾”出发 10 年后还在“残疾”的概率 p11: 99.23%
1 年内第一次离开“健康”是因为残疾: 0.00133276
1 年内第一次离开“健康”是因为死亡: 0.000526871

从“健康”出发，t 年后在各状态的概率

健康
残疾
死亡

纵轴：概率

强度：死亡 μ02：AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）；发病 μ01 = 1 × (4×10⁻⁴ + 3.4674×10⁻⁶·e^(0.138155·x))；发病后的死亡 μ12 = 1 × μ02。
前向方程用 4 阶 Runge-Kutta，每年 120 步。

第一次离开的原因first_exit2 行 · 3 列

结果表第一次离开的原因
离开的原因	1 年内	10 年内
残疾	0.00133276	0.0224453
死亡	0.000526871	0.00758718

期末的转移概率矩阵matrix3 行 · 4 列

结果表期末的转移概率矩阵
从 \ 到	健康	残疾	死亡
健康	0.969968	0.0223628	0.00766962
残疾	0	0.99233	0.00766962
死亡	0	0	1

各时点的转移概率path11 行 · 9 列

结果表各时点的转移概率
t（年）	年龄	p00 健康	p01 残疾	死亡	停留概率 p00‾	p11	停留概率 p11‾
0	40	1	0	0	1	1	1
1	41	0.99814	0.00133241	0.00052722	0.99814	0.999473	0.999473
2	42	0.996108	0.00279938	0.00109223	0.996108	0.998908	0.998908
3	43	0.99388	0.00442027	0.0016997	0.99388	0.9983	0.9983
4	44	0.991428	0.00621712	0.00235483	0.991428	0.997645	0.997645
5	45	0.988721	0.00821502	0.00306348	0.988721	0.996937	0.996937
6	46	0.985725	0.0104425	0.00383224	0.985725	0.996168	0.996168
7	47	0.9824	0.0129319	0.00466846	0.9824	0.995332	0.995332
8	48	0.9787	0.0157198	0.0055804	0.9787	0.99442	0.99442
9	49	0.974575	0.0188479	0.00657734	0.974575	0.993423	0.993423
10	50	0.969968	0.0223628	0.00766962	0.969968	0.99233	0.99233

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

常数强度的闭式解（手算）：p00 = e^(−0.3) = 0.7408182207；p01 = μ01(e^(−0.03t) − e^(−0.05t))/(0.05 − 0.03) = e^(−0.3) − e^(−0.5) = 0.1342875610

参数转移强度常数强度（有闭式解）模型永久残疾（健康 → 残疾 → 死亡，不能康复）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.02 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.01 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.05 每年时间长度 t 10 年其余用默认值

项	标准答案	平台算出
10 年后还在“健康”的概率 p00p00	0.74081822	0.74081822
10 年后在“残疾”的概率 p01p01	0.13428756	0.13428756
10 年内死亡的概率 p02p02	0.12489422	0.12489422

允许误差 1×10⁻⁸

第 2 条

平台算出的数对得上

常数强度的健康—生病—死亡模型：2×2 生成元的特征值闭式解（手算），scipy.linalg.expm 复核；停留概率 e^(−0.06×5)

参数转移强度常数强度（有闭式解）模型可康复的残疾（健康 ⇄ 生病 → 死亡）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.05 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.01 每年常数强度：康复 μ10 0.5 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.04 每年时间长度 t 5 年其余用默认值

项	标准答案	平台算出
停留概率：10 年内一直健康occupancy00	0.74081822	0.74081822
10 年后还在“健康”的概率 p00p00	0.865894	0.865894
10 年后在“残疾”的概率 p01p01	0.077063584	0.077063584

允许误差 1×10⁻⁸

第 3 条
平台算出的数对得上
Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT）：10p60 = exp(−10A − B·c^60(c^10 − 1)/ln c)，Makeham 闭式解
参数年龄 x 60 岁转移强度随年龄变化：死亡用死亡率基础，发病用 Makeham 形式模型生存—死亡（两个状态）死亡率基础 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）时间长度 t 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
10 年后还在“健康”的概率 p00p00 0.94254921 0.94254921
允许误差 1×10⁻⁸
第 4 条
平台算出的数对得上
SULT 死亡、Makeham 形式发病、μ12 = μ02：p00 是闭式解；p01 = ∫ sp00·μ01·(t−s)p11 ds 用 scipy.integrate.quad（误差 1e-12）独立计算
参数年龄 x 50 岁转移强度随年龄变化：死亡用死亡率基础，发病用 Makeham 形式模型永久残疾（健康 → 残疾 → 死亡，不能康复）死亡率基础 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）时间长度 t 20 年其余用默认值
项标准答案平台算出
10 年后还在“健康”的概率 p00p00 0.63144728 0.63144728
10 年后在“残疾”的概率 p01p01 0.29253105 0.29253105
允许误差 2×10⁻⁷

项	标准答案	平台算出
10 年后还在“健康”的概率 p00p00	0.94254921	0.94254921

项	标准答案	平台算出
10 年后还在“健康”的概率 p00p00	0.63144728	0.63144728
10 年后在“残疾”的概率 p01p01	0.29253105	0.29253105

第 5 条

平台算出的数对得上

IFoA CM1 的常数力公式手算：(aq)^s = σ/(σ+μ)·(1 − e^(−(σ+μ)))，σ = 0.05，μ = 0.02

参数转移强度常数强度（有闭式解）模型可康复的残疾（健康 ⇄ 生病 → 死亡）常数强度：发病（残疾、生病、重疾）μ01 0.05 每年常数强度：健康时的死亡 μ02 0.02 每年常数强度：康复 μ10 0.5 每年常数强度：发病后的死亡 μ12 0.04 每年时间长度 t 1 年其余用默认值

项	标准答案	平台算出
1 年内第一次离开“健康”是因为残疾first_exit_01_1y	0.048290129	0.048290129
1 年内第一次离开“健康”是因为死亡first_exit_02_1y	0.019316051	0.019316051

允许误差 1×10⁻⁹

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：12 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 18 行211 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multistate import kolmogorov34result = kolmogorov.kolmogorov(5    model="permanent_disability",6    basis="makeham",7    mortality="sult",8    age=40,9    mu01=0.02,10    mu02=0.01,11    mu10=0.1,12    mu12=0.05,13    inc_factor=1,14    rec_ratio=0.1,15    sick_mort=1,16    years=10,17)18print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 8 章 Multiple state models：8.6 Kolmogorov 前向方程、8.7 数值解
IFoA CM1健康—生病—死亡模型

覆盖的考试公式

MST-002停留概率ALTAMCM1CS2
MST-003Kolmogorov 前向方程ALTAMCS2
MST-019两状态模型的常数力转移概率CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

永久残疾、可康复的残疾、提前给付的重疾、生存—死亡 4 种模型：数值解 Kolmogorov 前向方程，得到 t 年的转移概率矩阵、停留概率和按原因分的首次离开概率。常数强度时和矩阵指数核对。

说明和限制

前向方程用 4 阶 Runge-Kutta 解，每年 40 到 120 步（和整数年龄对齐）。常数强度时另用矩阵指数 expm(Q·t) 算一遍，结果里写出两边的差。
停留概率用强度的积分直接算（Simpson 公式），和前向方程的结果独立；永久残疾和重疾模型里健康的转移概率就等于停留概率。
发病强度的 Makeham 形式是教学用的设定，不是任何经验表。死亡用平台生命表时，一岁之内的死亡力不变。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多状态与多减因，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一个人现在健康，t 年后健康、残疾（或生病、得重疾）、死亡的概率各是多少？一直没离开健康状态的概率是多少？”