离散时间的多状态模型：长期护理和残疾收入 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

第 1 年的转移矩阵16 个数

按行填，每行加起来是 1

最小 0最大 1均值 0.25

9–16 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

变差的转移每年增加的比例 g

00.2

保险期间 n年

1 年40 年

每个状态每年年初给付3 个数 · 元/年

按状态的顺序，死亡状态不填

最小 0最大 3.6 万均值 1.6 万

2–3 个数，每个在 0–1,000 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

死亡给付元

死亡那年的年末

0 元10,000 万元

利率 i%

0%15%

没有用数据：按输入的参数计算

输出

用时 202 毫秒 · 11/14 22:24 运行

年缴保费（年初，自理/健康时缴）: 4,925.44元
给付的精算现值: 4.457 万元
20 年后仍在“自理”的概率: 16.44%
20 年里一直“自理”的概率: 12.26%
20 年内死亡的概率: 75.36%

从“自理”出发，t 年后在各状态的概率

自理
轻度失能
重度失能
死亡

纵轴：概率

20 年的转移矩阵是 20 个一年矩阵的乘积（Chapman-Kolmogorov 方程）。
纯保费，不含费用。

第一年的转移概率矩阵first_year4 行 · 5 列

结果表第一年的转移概率矩阵
从 \ 到	自理	轻度失能	重度失能	死亡
自理	0.94	0.03	0.01	0.02
轻度失能	0.1	0.7	0.15	0.05
重度失能	0	0.05	0.8	0.15
死亡	0	0	0	1

n 年的转移概率矩阵matrix_n4 行 · 5 列

结果表 n 年的转移概率矩阵
从 \ 到	自理	轻度失能	重度失能	死亡
自理	0.164444	0.0312764	0.0506639	0.753615
轻度失能	0.0692631	0.0137825	0.0244277	0.892527
重度失能	0.0171376	0.00386466	0.00835216	0.970646
死亡	0	0	0	1

各年的状态分布path21 行 · 6 列

结果表各年的状态分布
t（年）	自理	轻度失能	重度失能	死亡	一直自理
0	1	0	0	0	1
1	0.94	0.03	0.01	0.02	0.94
2	0.88378	0.05081	0.02252	0.04289	0.88078
3	0.830399	0.0648824	0.0358161	0.0689025	0.822516
4	0.77921	0.0740018	0.0486854	0.098103	0.765386
5	0.729782	0.07946	0.0603383	0.13042	0.709567
6	0.681843	0.0821905	0.0702962	0.16567	0.65523
7	0.635238	0.0828697	0.0783096	0.203582	0.602546
8	0.589895	0.0819923	0.0842951	0.243818	0.551675
9	0.545801	0.0799261	0.0882854	0.285987	0.502771
10	0.502991	0.076951	0.0903931	0.329665	0.455973
11	0.461527	0.0732861	0.0907823	0.374405	0.411409
12	0.421493	0.0691088	0.0896482	0.41975	0.36919
13	0.382988	0.0645667	0.0872023	0.465243	0.329409
14	0.346114	0.0597855	0.0836616	0.510439	0.29214
15	0.310975	0.0548742	0.0792404	0.55491	0.257435
16	0.277673	0.0499278	0.074145	0.598254	0.225324
17	0.246298	0.0450288	0.0685695	0.640103	0.195813
18	0.21693	0.0402486	0.0626929	0.680129	0.168884
19	0.189631	0.0356478	0.0566767	0.718045	0.144498
20	0.164444	0.0312764	0.0506639	0.753615	0.12259

各状态的准备金reserves21 行 · 4 列

结果表各状态的准备金
时间 t（第 t+1 年初，缴费和给付之前）	准备金：自理	准备金：轻度失能	准备金：重度失能
0	-1.82×10⁻¹¹	106,207.56	165,597.42
1	365.455	104,208.13	160,343.66
2	643.778	102,132.88	155,163.82
3	829.888	99,982.29	150,058.47
4	917.967	97,755.28	145,026.79
5	901.386	95,448.66	140,066.17
6	772.662	93,056.1	135,171.44
7	523.5	90,566.73	130,333.93
8	144.999	87,963	125,539.88
9	-371.847	85,217.4	120,768.01
10	-1,035.1	82,287.27	115,985.77
11	-1,849.84	79,106.76	111,143.27
12	-2,814.4	75,573.89	106,163.35
13	-3,913.51	71,529.9	100,925.03
14	-5,105.87	66,726.6	95,235.26
15	-6,302.28	60,776.56	88,778.83
16	-7,327.54	53,086.85	81,026.37
17	-7,857.89	42,810.85	71,054.99
18	-7,334.63	29,016.81	57,169.18
19	-4,925.44	12,000	36,000
20	0	0	0

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：2p00 = 0.92 × 0.92 + 0.05 × 0.20 = 0.8564；2p01 = 0.92 × 0.05 + 0.05 × 0.70 = 0.081
参数变差的转移每年增加的比例 g 0第 1 年的转移矩阵 9 个数模型残疾收入：健康、残疾、死亡（3 个状态）保险期间 n 2 年其余用默认值
项标准答案平台算出
自理表 matrix_n · 第 1 行 0.8564 0.8564
轻度失能表 matrix_n · 第 1 行 0.081 0.081
允许误差 1×10⁻¹²
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：第 2 年变差的转移乘 1.1，p00 = 1 − 0.055 − 0.033 = 0.912；2p00 = 0.92 × 0.912 + 0.05 × 0.20 = 0.84904
参数变差的转移每年增加的比例 g 0.1第 1 年的转移矩阵 9 个数模型残疾收入：健康、残疾、死亡（3 个状态）保险期间 n 2 年其余用默认值
项标准答案平台算出
自理表 matrix_n · 第 1 行 0.84904 0.84904
允许误差 1×10⁻¹²

项	标准答案	平台算出
自理表 matrix_n · 第 1 行	0.8564	0.8564
轻度失能表 matrix_n · 第 1 行	0.081	0.081

项	标准答案	平台算出
自理表 matrix_n · 第 1 行	0.84904	0.84904

第 3 条

平台算出的数对得上

手算：给付的精算现值 = 1000 × 0.05/1.05，ä = 1 + 0.92/1.05，P = 50/1.97 = 25.38071066；第 1 年初（缴费、给付前）残疾的准备金 = 这一年的给付 1000，健康的准备金 = −P（以后没有风险）

参数变差的转移每年增加的比例 g 0每个状态每年年初给付 2 个数死亡给付 0 元利率 i 5%第 1 年的转移矩阵 9 个数模型残疾收入：健康、残疾、死亡（3 个状态）保险期间 n 2 年

项	标准答案	平台算出
年缴保费（年初，自理/健康时缴）premium	25.380711	25.380711
准备金：自理表 reserves · 第 1 行	0	3.55271e-15
准备金：自理表 reserves · 第 2 行	-25.380711	-25.380711
准备金：轻度失能表 reserves · 第 2 行	1,000	1,000

允许误差 1×10⁻⁷

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行202 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multistate import markov_chain34result = markov_chain.markov_chain(5    model="ltc4",6    matrix=[0.94, 0.03, 0.01, 0.02, 0.1, 0.7, 0.15, 0.05, 0, 0.05, 0.8, 0.15, 0, 0, 0, 1],7    aging=0.05,8    years=20,9    benefits=[0, 12000, 36000],10    death_benefit=0,11    interest=0.03,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 8 章 8.4 Discrete time Markov chains、8.9 Policy values（递推）
Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 17 章长期护理保险的多状态模型

覆盖的考试公式

MST-001Chapman-Kolmogorov 方程ALTAMMAS-ICS2
MST-007多状态准备金递推ALTAM
MST-009残疾收入保险（DII）离散转移矩阵ALTAMCM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

每年一个转移矩阵（可以随年龄变差），用 Chapman-Kolmogorov 方程（矩阵连乘）算 n 年的转移概率；各状态年初给付护理金（残疾金）、死亡时年末给付，自理（健康）时缴费；按等价原理定保费，逐年递推各状态的准备金。

说明和限制

时间按年：状态在年初给付护理金（残疾金），死亡给付在死亡那年的年末，保费在年初、只在第一个状态（自理、健康）时缴，别的状态豁免。
变差的转移（转到编号更大的状态，含死亡）每年乘 (1 + g)，康复的转移不变，对角线补足使每行加起来是 1。
矩阵是输入的假设，不是任何经验表。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多状态与多减因，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“给出每年的转移概率矩阵，n 年后在各状态的概率是多少？长期护理（或残疾收入）保单的保费和各状态的准备金是多少？”