多减因表：多减因率和相关单减因率的换算

死亡、退保（离职）、残疾同时起作用时，各自的发生率和“只有这一个减因时”的发生率怎么换算？多减因表长什么样？

SOA ALTAMIFoA CM1按输入的参数计算

公式

\displaystyle {}_tp_x^{(\tau)}=\prod_j{}_tp_x'^{(j)}

\displaystyle q_x^{(j)}=q_x^{(\tau)}\frac{\ln p_x'^{(j)}}{\ln p_x^{(\tau)}}

\displaystyle q_x^{(1)}=q_x'^{(1)}\Big(1-\tfrac12q_x'^{(2)}\Big)

\displaystyle q_x^{(1)}=q_x'^{(1)}\Big[1-\tfrac12\big(q_x'^{(2)}+q_x'^{(3)}\big)+\tfrac13q_x'^{(2)}q_x'^{(3)}\Big]

\displaystyle l_{x+1}^{(\tau)}=l_x^{(\tau)}-\sum_jd_x^{(j)}

\displaystyle d_x^{(j)}=l_x^{(\tau)}q_x^{(j)}

对过的标准答案: 7 条
覆盖的考试公式: 6 个
参数: 7 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

换算的方向

一年之内的假设

起始年龄岁

0 岁110 岁

多减因表的起始人数 l人

1 人1,000 万人

减因 1 的率5 个数

每个年龄一个数，例如死亡

最小 0.001最大 0.0015均值 0.00124

1–80 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

减因 2 的率5 个数

例如退保、离职

最小 0.05最大 0.15均值 0.088

1–80 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

减因 3 的率5 个数

例如残疾；全是 0 时只用 2 个减因

最小 0.002最大 0.003均值 0.0024

1–80 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

没有用数据：按输入的参数计算

输出

用时 213 毫秒 · 11/14 22:23 运行

30 岁 q^(1)（多减因率）: 0.0009241
30 岁 q^(2)（多减因率）: 0.149775
30 岁 q^(3)（多减因率）: 0.0018491
30 岁 q′^(1)（相关单减因率）: 0.001
30 岁 q′^(2)（相关单减因率）: 0.15
30 岁 q′^(3)（相关单减因率）: 0.002
35 岁还在的人数 l^(τ): 6.171 万人

每个年龄因各减因离开的人数 d^(j)

减因 1
减因 2
减因 3

纵轴：人

假设：每个单减因表里均匀分布（UDD in SDT）。
用了 3 个减因。

多减因率和相关单减因率rates5 行 · 12 列

结果表多减因率和相关单减因率
年龄	l^(τ)	q′^(1)	q^(1)	q′^(2)	q^(2)	q′^(3)	q^(3)	q^(τ)	d^(1)	d^(2)	d^(3)
30	100,000	0.001	0.0009241	0.15	0.149775	0.002	0.0018491	0.152548	92.41	14,977.51	184.91
31	84,745.17	0.0011	0.00104397	0.1	0.0998451	0.002	0.00189897	0.102788	88.4717	8,461.39	160.929
32	76,034.38	0.0012	0.00115058	0.08	0.0798521	0.0025	0.00239858	0.0834012	87.4836	6,071.5	182.375
33	69,693.02	0.0014	0.00135632	0.06	0.0598831	0.0025	0.00242332	0.0636627	94.526	4,173.43	168.888
34	65,256.17	0.0015	0.00146033	0.05	0.0498876	0.003	0.00292283	0.0542707	95.2952	3,255.47	190.732

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

7 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（单减因表 UDD，2 个减因）：q^(1) = 0.1 × (1 − 0.2/2) = 0.09，q^(2) = 0.2 × (1 − 0.1/2) = 0.19
参数减因 1 的率 1 个数减因 2 的率 1 个数减因 3 的率 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行 0.09 0.09
q^(2)表 rates · 第 1 行 0.19 0.19
允许误差 1×10⁻¹²
第 2 条
平台算出的数对得上
手算（单减因表 UDD，3 个减因）：q^(1) = 0.1 × (1 − 0.25/2 + 0.01/3) = 0.0878333
参数减因 1 的率 1 个数减因 2 的率 1 个数减因 3 的率 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行 0.087833333 0.087833333
q^(2)表 rates · 第 1 行 0.18533333 0.18533333
q^(3)表 rates · 第 1 行 0.042833333 0.042833333
允许误差 1×10⁻¹⁰
第 3 条
平台算出的数对得上
手算（多减因表 UDD）：p^(τ) = 0.72，p′^(1) = 0.72^(0.09/0.28)，p′^(2) = 0.72^(0.19/0.28)
参数一年之内的假设多减因表里均匀分布，或常数减因力（两者的换算公式相同）换算的方向已知多减因率 q，求相关单减因率 q′减因 1 的率 1 个数减因 2 的率 1 个数减因 3 的率 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
q′^(1)表 rates · 第 1 行 0.10020705 0.10020705
q′^(2)表 rates · 第 1 行 0.19981592 0.19981592
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：第 1 条测试的反向，单减因表 UDD 下 q = (0.09, 0.19) 对应 q′ = (0.1, 0.2)
参数一年之内的假设每个单减因表里均匀分布（UDD in SDT）换算的方向已知多减因率 q，求相关单减因率 q′减因 1 的率 1 个数减因 2 的率 1 个数减因 3 的率 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
q′^(1)表 rates · 第 1 行 0.1 0.1
q′^(2)表 rates · 第 1 行 0.2 0.2
允许误差 1×10⁻¹⁰
第 5 条
平台算出的数对得上
手算（减因 2 在年初）：q^(2) = q′^(2) = 0.2，q^(1) = p′^(2)·q′^(1) = 0.8 × 0.1 = 0.08
参数一年之内的假设减因 2 在年初发生（例如年初退保），其他减因在单减因表里均匀分布减因 1 的率 1 个数减因 2 的率 1 个数减因 3 的率 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行 0.08 0.08
q^(2)表 rates · 第 1 行 0.2 0.2
允许误差 1×10⁻¹²
第 6 条
平台算出的数对得上
手算（减因 2 在年末）：q^(1) = q′^(1) = 0.1，q^(2) = p′^(1)·q′^(2) = 0.9 × 0.2 = 0.18
参数一年之内的假设减因 2 在年末发生（例如年末退保），其他减因在单减因表里均匀分布减因 1 的率 1 个数减因 2 的率 1 个数减因 3 的率 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行 0.1 0.1
q^(2)表 rates · 第 1 行 0.18 0.18
允许误差 1×10⁻¹²
第 7 条
平台算出的数对得上
手算：l = 1000 × (1 − 0.28) = 720，d^(1) = 720 × 0.09 = 64.8，d^(2) = 720 × 0.19 = 136.8
参数减因 1 的率 2 个数减因 2 的率 2 个数减因 3 的率 2 个数多减因表的起始人数 l 1,000 人其余用默认值
项标准答案平台算出
d^(1)表 rates · 第 2 行 64.8 64.8
d^(2)表 rates · 第 2 行 136.8 136.8
l^(τ)表 rates · 第 2 行 720 720
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行	0.09	0.09
q^(2)表 rates · 第 1 行	0.19	0.19

项	标准答案	平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行	0.087833333	0.087833333
q^(2)表 rates · 第 1 行	0.18533333	0.18533333
q^(3)表 rates · 第 1 行	0.042833333	0.042833333

项	标准答案	平台算出
q′^(1)表 rates · 第 1 行	0.10020705	0.10020705
q′^(2)表 rates · 第 1 行	0.19981592	0.19981592

项	标准答案	平台算出
q′^(1)表 rates · 第 1 行	0.1	0.1
q′^(2)表 rates · 第 1 行	0.2	0.2

项	标准答案	平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行	0.08	0.08
q^(2)表 rates · 第 1 行	0.2	0.2

项	标准答案	平台算出
q^(1)表 rates · 第 1 行	0.1	0.1
q^(2)表 rates · 第 1 行	0.18	0.18

项	标准答案	平台算出
d^(1)表 rates · 第 2 行	64.8	64.8
d^(2)表 rates · 第 2 行	136.8	136.8
l^(τ)表 rates · 第 2 行	720	720

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行213 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multistate import decrement_table34result = decrement_table.decrement_table(5    direction="from_independent",6    assumption="udd_sdt",7    age0=30,8    radix=100000,9    q1=[0.001, 0.0011, 0.0012, 0.0014, 0.0015],10    q2=[0.15, 0.1, 0.08, 0.06, 0.05],11    q3=[0.002, 0.002, 0.0025, 0.0025, 0.003],12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 8 章 8.10–8.13 Multiple decrement models、相关单减因表
IFoA CM1多减因表

覆盖的考试公式

MST-011多减因概率与减因力ALTAMCM1
MST-012相关单减因概率ALTAMCM1
MST-013多减因表ALTAMCM1
MST-014多减因的分数年龄假设（CFD 与 UDD）ALTAM
MST-015三减因 UDD（单减因表）ALTAM
MST-016整点发生的减因ALTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

2 到 3 个减因：在单减因表 UDD、多减因表 UDD（常数减因力）、减因 2 在年初或年末发生 4 种假设下，从相关单减因率算多减因率，或者反过来；再建多减因表 l^(τ)、d^(j)。

说明和限制

多减因率 q^(j)：几个减因同时起作用时，一年内因减因 j 离开的概率。相关单减因率 q′^(j)：只有减因 j 时的概率。
多减因表 UDD 和常数减因力的换算公式相同：p′^(j) = (p^(τ))^(q^(j)/q^(τ))。
单减因表 UDD：q^(j) = ∫ q′^(j) Π_{k≠j}(1 − s·q′^(k)) ds，用多项式精确积分；反过来用牛顿法解。
3 列的长度不同时取最短的长度。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多状态与多减因，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“死亡、退保（离职）、残疾同时起作用时，各自的发生率和“只有这一个减因时”的发生率怎么换算？多减因表长什么样？”