随机占优：一阶和二阶 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

A 的取值4 个数

最小 90最大 120均值 105

1–500 个数，每个在 -10 亿–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

A 的概率4 个数

最小 0.1最大 0.4均值 0.25

1–500 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

B 的取值4 个数

最小 80最大 130均值 105

1–500 个数，每个在 -10 亿–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

B 的概率4 个数

最小 0.15最大 0.4均值 0.25

1–500 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

对照用的指数效用 −e^{−ax} 的 a

010

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的两个离散分布计算

输出

用时 175 毫秒 · 11/14 22:23 运行

一阶随机占优: 没有一阶占优
二阶随机占优: A 二阶占优 B
均值方差: A 均值方差占优
A 的均值: 107
B 的均值: 107
A 的方差: 81
B 的方差: 231

分布函数

F_A
F_B

纵轴：累积概率

分布函数和它的积分compare6 行 · 5 列

结果表分布函数和它的积分
取值 x	F_A(x)	F_B(x)	∫F_A	∫F_B
80	0	0.15	0	0
90	0.1	0.15	0	1.5
100	0.4	0.4	1	3
110	0.8	0.8	5	7
120	1	0.8	13	15
130	1	1	23	23

均值、方差和期望效用moments5 行 · 3 列

结果表均值、方差和期望效用
量	A	B
均值	107	107
方差	81	231
期望效用：线性 U(x) = x	107	107
期望效用：对数 U(x) = ln x	4.66922	4.6623
期望效用：指数 U(x) = −e^{−0.02(x − 最小值)}	-0.59236	-0.610681

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：F_A = (0.2, 0.5, 1) ≤ F_B = (0.3, 0.6, 1)，A 一阶占优，所以也二阶占优
参数A 的概率 3 个数B 的概率 3 个数A 的取值 3 个数B 的取值 3 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
一阶随机占优fsd A 一阶占优 B A 一阶占优 B
二阶随机占优ssd A 二阶占优 B A 二阶占优 B
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
一阶随机占优fsd	A 一阶占优 B	A 一阶占优 B
二阶随机占优ssd	A 二阶占优 B	A 二阶占优 B

第 2 条

平台算出的数对得上

手算：确定的 10 和 5、15 各一半（均值相同、B 是均值保持展开），F 交叉所以没有一阶占优；∫F_B 在 x = 10 处是 0.5×5 = 2.5，∫F_A = 0，A 二阶占优

参数A 的概率 1 个数B 的概率 2 个数A 的取值 1 个数B 的取值 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
一阶随机占优fsd	没有一阶占优	没有一阶占优
二阶随机占优ssd	A 二阶占优 B	A 二阶占优 B
∫F_A表 compare · 第 2 行	0	0
∫F_B表 compare · 第 2 行	2.5	2.5

允许误差 1×10⁻¹²

第 3 条
平台算出的数对得上
手算：A 的均值 2 更高但在 x = 1 处 ∫F_A = 0.5 > ∫F_B = 0，所以 B 不被 A 二阶占优；B 的均值低，也不二阶占优 A
参数A 的概率 2 个数B 的概率 2 个数A 的取值 2 个数B 的取值 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
一阶随机占优fsd 没有一阶占优没有一阶占优
二阶随机占优ssd 没有二阶占优没有二阶占优
允许误差 0.000001

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行175 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.portfolio import stochastic_dominance34result = stochastic_dominance.stochastic_dominance(5    values_A=[90, 100, 110, 120],6    probs_A=[0.1, 0.3, 0.4, 0.2],7    values_B=[80, 100, 110, 130],8    probs_B=[0.15, 0.25, 0.4, 0.2],9    risk_a=0.02,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM2 课程随机占优
Hadar、Russell (1969) Rules for ordering uncertain prospects

这个方法算什么

输入两个离散分布。在合并的取值上比较分布函数 F_A ≤ F_B（一阶随机占优：所有递增的效用函数都偏好 A）和积分 ∫F_A ≤ ∫F_B（二阶随机占优：所有递增且凹的效用函数都偏好 A）。列出两个分布的均值、方差、均值方差的比较，以及线性、对数、指数效用下的期望效用作对照。

说明和限制

一阶占优要求每一点 F_A ≤ F_B，而且至少一点严格小于。一阶占优推出二阶占优，反过来不成立。
二阶占优的积分在离散分布上是分段线性的，只要在每个取值点上比较就够了。
对数效用只在所有取值都是正数时算。均值方差的比较只有在收益正态（或二次效用）时和期望效用一致。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

投资组合与效用，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个投资（或两份财富的分布）哪个更好？是不是所有偏好多钱的人都选 A（一阶占优）？是不是所有厌恶风险的人都选 A（二阶占优）？”