资本资产定价模型（CAPM）和业绩评价

一只股票或一个基金的 β 是多少？按 CAPM 它应该有多少期望收益？它有没有超额收益（α）？夏普比率、特雷诺比率、信息比率是多少？

IFoA CM2按输入的参数计算

公式

\displaystyle E_i-r=\beta_i(E_M-r),\ \beta_i=\frac{\mathrm{Cov}(R_i,R_M)}{V_M}

\displaystyle E_P-r=\frac{E_M-r}{\sigma_M}\sigma_P

\displaystyle R_i-r=\alpha_i+\beta_i(R_M-r)+\varepsilon_i

\displaystyle \text{Sharpe}=\frac{\bar R_P-r}{\sigma_P},\ \text{Treynor}=\frac{\bar R_P-r}{\beta_P},\ \mathrm{IR}=\frac{\overline{R_P-R_M}}{\mathrm{sd}(R_P-R_M)},\ M^2=r+\text{Sharpe}\cdot\sigma_M

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 9 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

做什么

资产（或基金）的收益率序列24 个数

最小 -0.052最大 0.045均值 0.0105

3–5,000 个数，每个在 -1–10 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

市场组合的收益率序列24 个数

和上面一一对应

最小 -0.041最大 0.032均值 0.007417

3–5,000 个数，每个在 -1–10 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

无风险利率%

和收益率同一期间

-5%50%

每年几期

年化用：月度 12

1365

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的收益率序列计算（默认的序列是演示用的数，不是市场数据）

输出

用时 1.5 秒 · 11/14 22:45 运行

β: 1.37477
詹森 α（每期）: 0.00105332
詹森 α（年化）: 0.0126398
R²（系统风险占的比例）: 99.65%
系统风险的方差 β²V_M（每期）: 0.000730184
夏普比率（每期）: 0.314001
夏普比率（年化）: 1.08773
特雷诺比率（每期）: 0.00618284
信息比率（相对市场，每期）: 0.408892
M²（每期）: 0.00817187

超额收益：资产对市场（按市场排序）和回归线

资产的超额收益
回归线 α + β(R_M − r)

纵轴：资产的超额收益

业绩指标performance6 行 · 3 列

结果表业绩指标
指标	资产	市场
平均超额收益（每期）	0.0085	0.00541667
标准差（每期）	0.02707	0.0196555
夏普比率（每期）	0.314001	0.27558
夏普比率（年化）	1.08773	0.954635
特雷诺比率（每期）	0.00618284	0.00541667
M²（每期）	0.00817187	0.00741667

回归的结果regression4 行 · 4 列

结果表回归的结果
量	估计	标准误	t 值
α（詹森 α，每期）	0.00105332	0.000349554	3.01331
β	1.37477	0.0174868	78.6176
R²	0.996453	—	—
残差标准差（特有风险，每期）	0.00164839	—	—

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
CAPM 公式手算：E = 0.03 + 1.5×(0.09 − 0.03) = 0.12；资本市场线 E = 0.03 + (0.06/0.2)×0.1 = 0.06
参数市场的期望收益率 9%β 1.5做什么按 CAPM 算期望收益（证券市场线和资本市场线）无风险利率 3%市场的标准差 0.2有效组合的标准差 0.1其余用默认值
项标准答案平台算出
cml 0.06 0.06
expected 0.12 0.12
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
cml	0.06	0.06
expected	0.12	0.12

第 2 条

平台算出的数对得上

手算：x̄ = 0.022，ȳ = 0.026，Sxx = 0.00328，Sxy = 0.00474，β = Sxy/Sxx = 1.44512；α = ȳ − βx̄ = −0.005793；夏普 = ȳ/s_y，Syy = 0.00692，s_y² = Syy/4 = 0.00173；特雷诺 = ȳ/β

参数资产（或基金）的收益率序列 5 个数市场组合的收益率序列 5 个数做什么用收益率序列回归估计 β、α 和业绩指标每年几期 1无风险利率 0%其余用默认值

项	标准答案	平台算出
詹森 α（每期）alpha	-0.0057926829	-0.0057926829
βbeta	1.445122	1.445122
夏普比率（每期）sharpe	0.62510115	0.62510115
特雷诺比率（每期）treynor	0.017991561	0.017991561

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁸×|答案|

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行1.5 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.portfolio import capm34result = capm.capm(5    mode="estimate",6    asset=[0.021, -0.034, 0.045, 0.012, -0.008, 0.031, 0.027, -0.052, 0.018, 0.039, -0.015, 0.024, 0.009, 0.036, -0.022, 0.041, 0.005, -0.029, 0.033, 0.016, -0.011, 0.028, 0.044, -0.006],7    market=[0.015, -0.025, 0.032, 0.01, -0.004, 0.022, 0.018, -0.041, 0.012, 0.027, -0.012, 0.019, 0.006, 0.025, -0.016, 0.03, 0.004, -0.02, 0.024, 0.011, -0.007, 0.02, 0.031, -0.003],8    rf=0.002,9    periods=12,10    beta=1.2,11    E_M=0.08,12    sigma_M=0.18,13    sigma_P=0.12,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM2 课程资本资产定价模型
Bodie、Kane、Marcus：Investments第 9 章 CAPM；第 24 章业绩评价
Sharpe (1964) Capital asset prices

覆盖的考试公式

PFT-007CAPM 与资本市场线CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

CAPM：证券市场线 E_i = r + β_i(E_M − r)，资本市场线 E_P = r + (E_M − r)σ_P/σ_M。输入资产和市场的收益率序列时，用最小二乘回归估计 β、詹森 α（带标准误和 t 值）、R²，把风险分成系统风险和特有风险，并算夏普比率、特雷诺比率、信息比率和 M²。也可以直接输入 β 算期望收益。

说明和限制

回归用超额收益：R_i − r = α + β(R_M − r) + ε，statsmodels 的普通最小二乘。α 和比率按每期给出，年化的 α 乘每年的期数。
夏普比率年化时乘 √期数（假设各期独立）。
信息比率用市场组合当基准：平均超额收益（相对市场）÷ 跟踪误差。
默认的两列收益率是演示用的数，不是市场数据。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

投资组合与效用，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一只股票或一个基金的 β 是多少？按 CAPM 它应该有多少期望收益？它有没有超额收益（α）？夏普比率、特雷诺比率、信息比率是多少？”