均值方差组合和有效前沿

几种资产按什么比例配，风险最小？要达到某个期望收益，风险最小的配法是什么？

IFoA CM2按输入的参数计算

公式

\displaystyle E_P=\sum_ix_iE_i,\ V_P=\sum_i\sum_jx_ix_jC_{ij}

\displaystyle x_1^{\min}=\frac{V_2-C_{12}}{V_1+V_2-2C_{12}}

\displaystyle \min_x V_P\ \text{s.t.}\ \sum x_iE_i=E_P,\ \sum x_i=1:\ x=\frac{\Sigma^{-1}[(C-BE_P)\mathbf 1+(AE_P-B)\mu]}{AC-B^2},\ A=\mathbf 1'\Sigma^{-1}\mathbf 1,\ B=\mathbf 1'\Sigma^{-1}\mu,\ C=\mu'\Sigma^{-1}\mu

\displaystyle x_T=\frac{\Sigma^{-1}(\mu-r\mathbf 1)}{\mathbf 1'\Sigma^{-1}(\mu-r\mathbf 1)}

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 7 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

各资产的期望收益率4 个数

最小 0.04最大 0.13均值 0.085

2–20 个数，每个在 -1–2 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各资产的标准差4 个数

最小 0.05最大 0.25均值 0.15

2–20 个数，每个在 0.0001–3 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

输出

用时 507 毫秒 · 11/14 22:23 运行

最小方差组合的期望收益: 0.0451357
最小方差组合的标准差: 0.0482396
目标收益 0.09 的有效组合的标准差: 0.119336
切点组合的期望收益: 0.0607765
切点组合的标准差: 0.0614417
切点组合的夏普比率（资本市场线的斜率）: 0.663661
要评估的组合的期望收益: 0.085
要评估的组合的标准差: 0.108674
要评估的组合的方差: 0.01181

有效前沿：期望收益和最小的标准差

允许卖空
不许卖空
资本市场线

纵轴：标准差

有效前沿上的点frontier11 行 · 4 列

结果表有效前沿上的点
期望收益	标准差（允许卖空）	标准差（不许卖空）	资本市场线的标准差
0.031	0.0592437	—	0.0165747
0.0427	0.0486022	0.0486022	0.0342042
0.0544	0.0532455	0.0532455	0.0518337
0.0661	0.0702036	0.0702036	0.0694632
0.0778	0.0929653	0.0929653	0.0870927
0.0895	0.118225	0.118225	0.104722
0.1012	0.14468	0.145361	0.122352
0.1129	0.171778	0.17952	0.139981
0.1246	0.199259	0.222973	0.157611
0.1363	0.226982	—	0.17524
0.148	0.254868	—	0.19287

各组合的权重weights4 行 · 7 列

结果表各组合的权重
资产	期望收益	标准差	最小方差组合	目标收益的有效组合	切点组合	要评估的组合
资产 1	0.04	0.05	0.892068	0.118612	0.622423	0.25
资产 2	0.07	0.12	0.0674218	0.355066	0.167702	0.25
资产 3	0.1	0.18	0.0177615	0.267366	0.104779	0.25
资产 4	0.13	0.25	0.0227483	0.258956	0.105096	0.25

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

两资产公式手算：C₁₂ = 0.2×0.15×0.25 = 0.0075，x₁ = (V₂ − C₁₂)/(V₁ + V₂ − 2C₁₂) = 0.055/0.07，最小方差 = (V₁V₂ − C₁₂²)/(V₁ + V₂ − 2C₁₂)

参数相关系数 1 个数各资产的期望收益率 2 个数各资产的标准差 2 个数目标期望收益率 E_P 0.1要评估的组合的权重 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
要评估的组合的期望收益given_mean	0.1	0.1
要评估的组合的标准差given_sd	0.15811388	0.15811388
最小方差组合的标准差minvar_sd	0.13887301	0.13887302
最小方差组合表 weights · 第 1 行	0.78571429	0.78571429

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条

平台算出的数对得上

独立数值核对：scipy SLSQP 直接最小化 w'Σw（约束 Σw = 1、w·μ = 0.1，ftol 1e-15），切点组合用 numpy.linalg.solve(Σ, μ − r) 再归一

参数相关系数 3 个数各资产的期望收益率 3 个数无风险利率 3%各资产的标准差 3 个数卖空允许卖空（权重可以是负数）目标期望收益率 E_P 0.1要评估的组合的权重 3 个数

项	标准答案	平台算出
目标收益 0.09 的有效组合的标准差target_sd	0.1512505	0.1512505
切点组合表 weights · 第 1 行	0.55226465	0.55226465
目标收益的有效组合表 weights · 第 1 行	0.34246575	0.34246575
切点组合表 weights · 第 2 行	0.21789848	0.21789848
目标收益的有效组合表 weights · 第 2 行	0.31506849	0.31506849
目标收益的有效组合表 weights · 第 3 行	0.34246575	0.34246575

允许误差 0.000001

第 3 条
平台算出的数对得上
独立核对：在权重 ≥ 0、和为 1 的单纯形上按 0.001 的网格穷举，最小方差点的权重为 (0.876, 0.068, 0.056)
参数相关系数 3 个数各资产的期望收益率 3 个数无风险利率 3%各资产的标准差 3 个数卖空不许卖空（权重 ≥ 0）目标期望收益率 E_P 0.07要评估的组合的权重 3 个数
项标准答案平台算出
最小方差组合表 weights · 第 1 行 0.876 0.87546658
最小方差组合表 weights · 第 2 行 0.068 0.068204954
最小方差组合表 weights · 第 3 行 0.056 0.05632847
说明：网格结果本身只精确到 0.001，误差放到 0.0015
允许误差 0.0015

项	标准答案	平台算出
最小方差组合表 weights · 第 1 行	0.876	0.87546658
最小方差组合表 weights · 第 2 行	0.068	0.068204954
最小方差组合表 weights · 第 3 行	0.056	0.05632847

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行507 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.portfolio import mean_variance34result = mean_variance.mean_variance(5    means=[0.04, 0.07, 0.1, 0.13],6    sds=[0.05, 0.12, 0.18, 0.25],7    corr=[0.2, 0.1, 0, 0.3, 0.25, 0.5],8    shorts="allow",9    rf=0.02,10    target=0.09,11    weights=[0.25, 0.25, 0.25, 0.25],12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM2 课程均值方差组合理论
Elton、Gruber 等：Modern Portfolio Theory and Investment Analysis第 5、6 章
Markowitz (1952) Portfolio selection

覆盖的考试公式

PFT-003组合均值与方差CM2
PFT-004两资产最小方差组合CM2
PFT-005有效组合（拉格朗日）CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Markowitz 均值方差模型：输入各资产的期望收益、标准差和相关系数。给出一个组合的期望和方差，全局最小方差组合，目标收益下的有效组合（允许卖空用拉格朗日闭式解，不许卖空用数值优化），有无风险资产时的切点组合、夏普比率和资本市场线，以及有效前沿的曲线。两个资产时就是两资产最小方差组合的公式。

说明和限制

单期模型：投资者只关心组合收益率的期望和方差（收益率正态，或二次效用）。
允许卖空时用拉格朗日闭式解；不许卖空时用 scipy 的 SLSQP 数值求解，两者在不需要卖空时相同。
切点组合是夏普比率 (E − r)/σ 最大的风险资产组合；资本市场线 E = r + 夏普比率 × σ。无风险利率不低于最小方差组合的期望收益时，允许卖空的切点组合不在有效前沿的上半支，结果只作参考。
相关系数的个数要是 n(n−1)/2；不是正定时调整到最近的正定矩阵，并写在说明里。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

投资组合与效用，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几种资产按什么比例配，风险最小？要达到某个期望收益，风险最小的配法是什么？加上无风险资产以后，最好的风险资产组合（切点组合）是什么？”