期望效用、风险厌恶和保险的最高保费

参考

• IFoA CM2 课程效用理论；保险的最高和最低保费
• Bowers 等：Actuarial Mathematics第 1 章效用理论和保险
• Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models保费原理：零效用原理

覆盖的考试公式

• PFT-001绝对与相对风险厌恶系数CM2
• PFT-002效用原理下的最高与最低保费CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

指数（CARA）、幂（CRRA）、对数、二次 4 种效用函数：绝对风险厌恶 A(w) = −U″/U′ 和相对风险厌恶 R(w) = wA(w)。对两点、均匀、指数、伽马或自己输入的损失分布，算期望效用、确定性等价、投保人最多愿意付的保费 P_max（U(w − P) = E[U(w − X)]）、风险溢价和 Arrow-Pratt 近似，以及保险人按自己的效用最少要收的保费 Q_min。

说明和限制

• 效用函数只差一个正线性变换时结论相同。指数效用的 P_max 和财富无关：P_max = (1/a) ln E[e^{aX}]，就是指数保费原理。
• 对数和幂（γ ≥ 1）效用在财富 ≤ 0 时是 −∞：损失可能超过财富时（例如指数、伽马损失），期望效用是 −∞，投保人愿意付出全部财富 w。
• 二次效用只在 w < 1/(2b) 时递增，而且绝对风险厌恶随财富增加（不合常理），只在这个范围里用。
• 连续分布的期望用 scipy quad 积分（epsrel 1e-12）；保险人的 Q_min 用 brentq 求根。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算