分散化效应：等权重组合的方差 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每个资产的标准差 σ

0.0013

两两的相关系数 ρ

-0.51

最多几个资产个

2 个1,000 个

离极限的比例

例如 1.1：方差不超过极限的 110%

1.00110

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 168 毫秒 · 11/14 22:25 运行

平均方差 V̄: 0.09
平均协方差 C̄: 0.018
分散不掉的方差（n → ∞）: 0.018
分散不掉的标准差: 0.134164
方差降到极限的 1.1 倍以内最少要几个资产: 40个
50 个资产时的方差: 0.01944

资产的个数和组合的方差

组合的方差
极限 C̄

纵轴：方差

资产的个数和组合的风险by_n50 行 · 4 列

结果表资产的个数和组合的风险
资产的个数	组合的方差	组合的标准差	方差 ÷ 极限
1	0.09	0.3	5
2	0.054	0.232379	3
3	0.042	0.204939	2.33333
4	0.036	0.189737	2
5	0.0324	0.18	1.8
6	0.03	0.173205	1.66667
7	0.0282857	0.168184	1.57143
8	0.027	0.164317	1.5
9	0.026	0.161245	1.44444
10	0.0252	0.158745	1.4
11	0.0245455	0.15667	1.36364
12	0.024	0.154919	1.33333
13	0.0235385	0.153422	1.30769
14	0.0231429	0.152128	1.28571
15	0.0228	0.150997	1.26667
16	0.0225	0.15	1.25
17	0.0222353	0.149115	1.23529
18	0.022	0.148324	1.22222
19	0.0217895	0.147613	1.21053
20	0.0216	0.146969	1.2
21	0.0214286	0.146385	1.19048
22	0.0212727	0.145852	1.18182
23	0.0211304	0.145363	1.17391
24	0.021	0.144914	1.16667
25	0.02088	0.144499	1.16
26	0.0207692	0.144115	1.15385
27	0.0206667	0.143759	1.14815
28	0.0205714	0.143427	1.14286
29	0.0204828	0.143118	1.13793
30	0.0204	0.142829	1.13333
31	0.0203226	0.142557	1.12903
32	0.02025	0.142302	1.125
33	0.0201818	0.142063	1.12121
34	0.0201176	0.141837	1.11765
35	0.0200571	0.141623	1.11429
36	0.02	0.141421	1.11111
37	0.0199459	0.14123	1.10811
38	0.0198947	0.141049	1.10526
39	0.0198462	0.140876	1.10256
40	0.0198	0.140712	1.1
41	0.0197561	0.140556	1.09756
42	0.0197143	0.140408	1.09524
43	0.0196744	0.140266	1.09302
44	0.0196364	0.14013	1.09091
45	0.0196	0.14	1.08889
46	0.0195652	0.139876	1.08696
47	0.0195319	0.139757	1.08511
48	0.0195	0.139642	1.08333
49	0.0194694	0.139533	1.08163
50	0.01944	0.139427	1.08

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
公式手算：V̄ = 0.09，C̄ = 0.2×0.09 = 0.018，V(10) = 0.009 + 0.0162；V(n) ≤ 1.1C̄ 即 (V̄ − C̄)/n ≤ 0.1C̄，n ≥ 0.072/0.0018 = 40
参数最多几个资产 50 个输入输入每个资产的标准差 σ 和两两的相关系数 ρ（都相同）两两的相关系数 ρ 0.2离极限的比例 1.1每个资产的标准差 σ 0.3其余用默认值
项标准答案这次算出
分散不掉的方差（n → ∞）limit_var 0.018 0.018
方差降到极限的 1.1 倍以内最少要几个资产n_needed 40 40
组合的方差表 by_n · 第 10 行 0.0252 0.0252
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：3 个资产等权重，V_P = (ΣV_i + 2ΣC_ij)/9 = V̄/3 + (2/3)C̄
参数最多几个资产 10 个协方差矩阵 9 个数输入输入一个协方差矩阵（按行）其余用默认值
项标准答案平台算出
平均协方差 C̄C_bar 0.0093333333 0.0093333333
平均方差 V̄V_bar 0.064166667 0.064166667
组合的方差表 by_n · 第 3 行 0.027611111 0.027611111
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	这次算出
分散不掉的方差（n → ∞）limit_var	0.018	0.018
方差降到极限的 1.1 倍以内最少要几个资产n_needed	40	40
组合的方差表 by_n · 第 10 行	0.0252	0.0252

项	标准答案	平台算出
平均协方差 C̄C_bar	0.0093333333	0.0093333333
平均方差 V̄V_bar	0.064166667	0.064166667
组合的方差表 by_n · 第 3 行	0.027611111	0.027611111

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行168 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.portfolio import diversification34result = diversification.diversification(5    inputs="sd_rho",6    V_bar=0.09,7    C_bar=0.018,8    sigma=0.3,9    rho=0.2,10    cov=[0.04, 0.006, 0.01, 0.006, 0.09, 0.012, 0.01, 0.012, 0.0625],11    N=50,12    share=1.1,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM2 课程分散化
Elton、Gruber 等：Modern Portfolio Theory and Investment Analysis第 4 章

覆盖的考试公式

PFT-006分散化效应CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

等权重组合的方差 V_P = V̄/n + (n−1)/n·C̄：资产越多，平均方差的部分越小，只剩平均协方差（分散不掉的系统风险）。给出 n 从 1 到 N 的方差和标准差，离极限还差多少，以及达到极限的某个比例最少要几个资产。可以输入平均值、σ 和 ρ，或一个协方差矩阵。

说明和限制

只对等权重组合成立。ρ 是负数时，n 个资产两两相关系数都为 ρ 要求 ρ ≥ −1/(n − 1)，否则不是有效的相关矩阵，表里不显示。
输入协方差矩阵时，V̄ 和 C̄ 取这几个资产的平均，再按同样的平均外推到更多的资产。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

投资组合与效用，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“把钱平均分给 n 个资产，组合的风险能降到多少？最少要几个资产，风险才接近分散不掉的那部分？”