单指数模型、多因子模型和套利定价 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

各资产的 β4 个数

单指数

最小 0.8最大 1.6均值 1.175

1–50 个数，每个在 -5–5 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各资产的特有风险4 个数

残差标准差

最小 0.15最大 0.3均值 0.225

1–50 个数，每个在 0–3 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各资产的 α4 个数

单指数，每年

最小 -0.005最大 0.02均值 0.00625

1–50 个数，每个在 -1–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

指数的期望收益率%

-50%100%

指数的标准差

0.0012

无风险利率%

-5%50%

组合的权重4 个数

和不为 1 时按比例调整

最小 0.25最大 0.25均值 0.25

1–50 个数，每个在 -10–10 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

当前选项用不到的 6 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：单指数模型

输出

用时 161 毫秒 · 11/14 22:24 运行

组合的期望收益: 0.10025
组合的标准差: 0.241184
组合的 β: 1.175
系统风险的方差: 0.0447323
特有风险的方差: 0.0134375
系统风险占总方差的比例: 76.9%

等权重持有 m 个同类资产时的方差（特有风险被分散掉）

组合方差
系统风险（分不掉）

纵轴：方差

各资产的期望收益和风险assets4 行 · 7 列

结果表各资产的期望收益和风险
资产	期望收益	方差	标准差	系统方差	系统风险的比例	β
资产 1	0.074	0.043236	0.207933	0.020736	0.4796	0.8
资产 2	0.08	0.0724	0.269072	0.0324	0.447514	1
资产 3	0.099	0.117256	0.342427	0.054756	0.466978	1.3
资产 4	0.148	0.172944	0.415865	0.082944	0.4796	1.6

协方差矩阵cov4 行 · 5 列

结果表协方差矩阵
资产	资产 1	资产 2	资产 3	资产 4
资产 1	0.043236	0.02592	0.033696	0.041472
资产 2	0.02592	0.0724	0.04212	0.05184
资产 3	0.033696	0.04212	0.117256	0.067392
资产 4	0.041472	0.05184	0.067392	0.172944

组合风险的分解decomp3 行 · 2 列

结果表组合风险的分解
部分	方差
系统风险	0.0447323
特有风险	0.0134375
合计	0.0581698

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

单指数模型的公式手算：V_M = 0.04，C₁₂ = 0.8×1.2×0.04，V₁ = 0.64×0.04 + 0.2²，β_P = 1，系统方差 β_P²V_M，特有方差 Σx_i²V_εi

参数指数的期望收益率 10%各资产的 α 2 个数各资产的 β 2 个数模型单指数模型各资产的特有风险 2 个数无风险利率 2%指数的标准差 0.2组合的权重 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
组合的 βbeta_p	1	1
特有风险的方差spec_var	0.0325	0.0325
系统风险的方差sys_var	0.04	0.04
方差表 assets · 第 1 行	0.0656	0.0656
方差表 assets · 第 2 行	0.1476	0.1476
资产 2表 cov · 第 1 行	0.0384	0.0384

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
APT 和多因子协方差手算：E₁ = 0.03 + 1×0.05 + 0.5×0.02，E₂ = 0.03 + 0.8×0.05 + 1.2×0.02，C₁₂ = b₁₁b₂₁σ₁² + b₁₂b₂₂σ₂²（因子不相关）
参数各资产的期望收益 2 个数因子之间的相关系数 1 个数各因子的标准差 2 个数因子的个数 2因子载荷 b_ij 4 个数模型多因子模型和套利定价理论（APT）各因子的风险溢价 λ_j 2 个数各资产的特有风险 2 个数无风险利率 3%组合的权重 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
apt表 assets · 第 1 行 0.09 0.09
alpha表 assets · 第 2 行 -0.014 -0.014
apt表 assets · 第 2 行 0.094 0.094
资产 2表 cov · 第 1 行 0.0095 0.0095
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
apt表 assets · 第 1 行	0.09	0.09
alpha表 assets · 第 2 行	-0.014	-0.014
apt表 assets · 第 2 行	0.094	0.094
资产 2表 cov · 第 1 行	0.0095	0.0095

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行161 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.portfolio import factor_models34result = factor_models.factor_models(5    mode="single_index",6    betas=[0.8, 1, 1.3, 1.6],7    resid_sd=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3],8    alphas=[0.01, 0, -0.005, 0.02],9    E_M=0.08,10    sigma_M=0.18,11    k=2,12    loadings=[1, 0.5, 0.8, 1.2, 1.2, 0.2, 0.6, -0.3],13    factor_sd=[0.15, 0.05],14    factor_corr=[0.2],15    premia=[0.05, 0.02],16    expected=[0.085, 0.1, 0.075, 0.032],17    rf=0.02,18    weights=[0.25, 0.25, 0.25, 0.25],19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CM2 课程单指数模型、多因子模型、套利定价理论
Elton、Gruber 等：Modern Portfolio Theory and Investment Analysis第 7、8、16 章
Ross (1976) The arbitrage theory of capital asset pricing

覆盖的考试公式

PFT-008单指数与多因子模型CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

单指数模型 R_i = α_i + β_iR_M + ε_i：方差 β_i²V_M + V_εi，协方差 β_iβ_jV_M，组合风险分成系统风险和特有风险。多因子模型 R_i = a_i + Σ_j b_ijI_j + ε_i：协方差 BΣ_IB′ + D；套利定价理论下 E_i = r + Σ_j b_ijλ_j，输入的期望收益和它的差就是 α（有套利机会时不为 0）。

说明和限制

假设各资产的残差互不相关，也和因子不相关。所以协方差只来自因子：单指数模型 C_ij = β_iβ_jV_M。
APT 的 α = 输入的期望收益 − (r + Σb_ijλ_j)。资产足够多时，α 不为 0 的分散组合就是套利机会。
输入的个数对不上时：以 β（或载荷的行数）定资产的个数，别的列不够的补 0、多的不用，并写在说明里。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

投资组合与效用，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“用单指数或多因子模型，几只股票的方差和协方差是多少？一个组合的风险里多少是系统风险？按套利定价理论，每只股票应该有多少期望收益，有没有套利机会？”