尾部轻重的比较：生存函数之比、危险率和平均超额 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

分布 1

分布 1 的形状参数 α

Pareto、伽马的 α，威布尔的 τ

0.05100

分布 1 的尺度参数 θ元

0 元100,000 万元

分布 2

分布 2 的 μ

对数正态

-2030

分布 2 的 σ

对数正态

0.0110

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

分布 1：两参数 Pareto(α = 3, θ = 2000)；分布 2：对数正态分布 LN(μ = 6.5, σ = 0.9)

输出

用时 867 毫秒 · 11/14 22:45 运行

尾部更厚的是: 分布 1
分布 1 的均值: 1,000元
分布 2 的均值: 997.249元
分布 1 在 x = 它的均值处的平均超额: 1,500元
分布 2 在 x = 它的均值处的平均超额: 1,061.22元
分布 1 在 x = 它的均值处的危险率: 0.0011/元
分布 2 在 x = 它的均值处的危险率: 0.001230841/元
最远一点的生存函数之比 S₁/S₂: 427.382
分布 1 存在的矩: k < 3 阶
分布 2 存在的矩: 所有阶

平均超额函数

分布 1：两参数 Pareto(α = 3, θ = 2000)
分布 2：对数正态分布 LN(μ = 6.5, σ = 0.9)

纵轴：e(x)（元）

各金额的生存函数、危险率和平均超额points5 行 · 8 列

结果表各金额的生存函数、危险率和平均超额
金额 x（元）	S₁(x)	S₂(x)	S₁/S₂	e₁(x)	e₂(x)	h₁(x)	h₂(x)
2,308.87	0.1	0.0833643	1.19955	2,154.43	1,454.8	0.000696238	0.000885274
7,283.18	0.01	0.00391577	2.55377	4,641.59	2,717.33	0.000323165	0.000452847
18,000	0.001	0.00012387	8.073	10,000	4,942.79	0.00015	0.000241168
41,088.69	0.0001	0.000002307	43.3545	21,544.35	9,004.9	0.00006962	0.000129337
90,831.78	0.00001	2.34×10⁻⁸	427.382	46,415.89	16,594.7	0.00003232	0.00006894

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

闭式公式手算：Pareto(3, 2000) 的 e(x) = (x + θ)/(α − 1)，x = 均值 1000 时为 1500；指数分布 e(x) = θ，h(x) = 1/θ

参数分布 1 的形状参数 α 3分布 1 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）分布 2 指数分布 Exp(θ)分布 1 的尺度参数 θ 2,000 元分布 2 的尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值

项	标准答案	平台算出
分布 1 在 x = 它的均值处的平均超额e1_at_mean	1,500	1,500
分布 2 在 x = 它的均值处的平均超额e2_at_mean	1,000	1,000
分布 2 在 x = 它的均值处的危险率h2_at_mean	0.001	0.001

允许误差 1×10⁻⁹

第 2 条
平台算出的数对得上
LN(0,1) 在 x = e^{0.5} 处 ∫S(y)dy/S(x) 用 quad 独立积分为 2.0462225；Gamma(2,1) 的 S(x) = (1+x)e^{−x}，e(x) = (x+2)/(x+1)，x = 2 时为 4/3（手算）
参数分布 2 的形状参数 α 2分布 1 对数正态分布 LN(μ, σ)分布 2 伽马分布 Gamma(α, θ)分布 1 的 μ 0分布 1 的 σ 1分布 2 的尺度参数 θ 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
分布 1 在 x = 它的均值处的平均超额e1_at_mean 2.0462225 2.0462225
分布 2 在 x = 它的均值处的平均超额e2_at_mean 1.3333333 1.3333333
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
分布 1 在 x = 它的均值处的平均超额e1_at_mean	2.0462225	2.0462225
分布 2 在 x = 它的均值处的平均超额e2_at_mean	1.3333333	1.3333333

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行867 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.evt import tail_weight34result = tail_weight.tail_weight(5    dist1="pareto",6    mu1=6.5,7    sigma1=0.9,8    alpha1=3,9    theta1=2000,10    dist2="lognormal",11    mu2=6.5,12    sigma2=0.9,13    alpha2=2,14    theta2=500,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）13.2 Tails of Distributions
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models尾部轻重的比较

覆盖的考试公式

EVT-007尾部厚度判断：密度比、危险率与平均剩余寿命ASTAMCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

比较两个分布的尾部：生存函数（或密度）之比随金额的变化、危险率是升是降、平均超额函数是升是降、存在几阶矩。

说明和限制

比值趋于无穷大：分布 1 的尾部更厚；趋于 0：分布 2 更厚。表里给出几个高分位数处的比值看趋势。
危险率递减、平均超额递增是厚尾的信号（Pareto、对数正态、τ < 1 的威布尔、α < 1 的伽马）。
平均超额用闭式公式，危险率用 scipy 的对数密度和对数生存函数。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

极值理论，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个均值差不多的损失分布，哪个尾部更厚？大额损失的概率差多少？”