暴雨重现期：Gumbel 的 L 矩法和最大似然法 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

年最大日降水62 个数 · 毫米

每年一个数

最小 51最大 171.5均值 88.02

5–300 个数，每个在 0–2,000 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

对照的县区行政区划代码

真实数据

对照：平台县级暴雨重现期表的广东省云浮市云城区（445302）。年最大值序列是输入的（默认的示例序列，不是观测值）

county-rainstorm-return-period

输出

用时 584 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

年数: 62年
μ（L 矩法）: 76.5466毫米
β（L 矩法）: 19.8816毫米
μ（最大似然法）: 76.7014毫米
β（最大似然法）: 19.2567毫米
GEV 形状参数 ξ（L 矩法）: -0.00131423
100 年一遇（L 矩法）: 168.005毫米
100 年一遇（最大似然法）: 165.285毫米
100 年一遇（平台表：广东省云浮市云城区）: 167.6毫米
100 年一遇（按平台表的 μ、β 复算）: 167.555毫米
概率图相关系数（Gumbel，L 矩法）: 0.993901

重现期图：观测值和拟合的曲线

年最大值（按 Gringorten 画图位置）
Gumbel L 矩法
Gumbel 最大似然法
平台表的参数

纵轴：年最大日降水（毫米）

各方法的 Gumbel 参数params4 行 · 4 列

结果表各方法的 Gumbel 参数
来源	μ（毫米）	β（毫米）	ξ
平台表（1961—2022 年，Gumbel，L 矩法，格点参数取县内中位数）	76.38	19.82	0
Gumbel L 矩法	76.5466	19.8816	0
Gumbel 最大似然法	76.7014	19.2567	0
GEV L 矩法	76.5585	19.9057	-0.00131423

各重现期的日降水return_levels6 行 · 6 列

结果表各重现期的日降水
重现期（年）	年超越概率	平台表（广东省云浮市云城区）	Gumbel L 矩法	Gumbel 最大似然法	GEV L 矩法
2	0.5	83.6	83.8335	83.7592	83.8525
5	0.2	106.1	106.368	105.585	106.386
10	0.1	121	121.287	120.036	121.287
20	0.05	135.3	135.599	133.898	135.567
50	0.02	153.7	154.123	151.84	154.031
100	0.01	167.6	168.005	165.285	167.851

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause pandas3.1.1· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：l1 = 30，b1 = (0.25·20 + 0.5·30 + 0.75·40 + 50)/5 = 20，l2 = 2b1 − l1 = 10；β = 10/ln 2 = 14.4269504，μ = 30 − 0.5772157·β = 21.6725382
参数年最大日降水 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
β（L 矩法）beta_lmom 14.42695 14.42695
μ（L 矩法）mu_lmom 21.672538 21.672538
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
独立求解 Gumbel 的似然方程（另写的程序，brentq；scipy.stats.gumbel_r.fit 结果相同）：β = x̄ − Σx e^{−x/β}/Σe^{−x/β}，μ = −β ln(Σe^{−x/β}/n)
参数年最大日降水 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
β（最大似然法）beta_mle 12.666532 12.666532
μ（最大似然法）mu_mle 22.966078 22.966078
允许误差 0.00001
第 3 条
这次算出的数对得上
平台数据集 county-rainstorm-return-period，445302 云城区：μ = 76.38、β = 19.82、100 年一遇 167.6 毫米。按 x_T = μ − β ln(−ln 0.99) 复算为 167.555
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
100 年一遇（按平台表的 μ、β 复算）table_formula_rl100 167.6 167.55496
100 年一遇（平台表：广东省云浮市云城区）table_rl100 167.6 167.6
说明：表里的值取 1 位小数，误差放到 0.05 毫米
允许误差 0.05
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	平台算出
β（L 矩法）beta_lmom	14.42695	14.42695
μ（L 矩法）mu_lmom	21.672538	21.672538

项	标准答案	平台算出
β（最大似然法）beta_mle	12.666532	12.666532
μ（最大似然法）mu_mle	22.966078	22.966078

项	标准答案	这次算出
100 年一遇（按平台表的 μ、β 复算）table_formula_rl100	167.6	167.55496
100 年一遇（平台表：广东省云浮市云城区）table_rl100	167.6	167.6

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：2 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 8 行584 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.evt import rainfall_return_level34result = rainfall_return_level.rainfall_return_level(5    annual_max=[56.4, 81.2, 118.8, 63.2, 90.9, 54.6, 90.6, 79.1, 58, 171.5, 51, 102.6, 125.7, 64.4, 91.1, 64.2, 90.8, 123.5, 61.1, 62.8, 60.1, 102.3, 78.8, 89.6, 67.8, 87.6, 90.1, 78.2, 75.1, 70.9, 118.7, 64.6, 96.3, 135.2, 63.4, 101.9, 127.1, 93.5, 79.2, 63, 89.4, 93.6, 87.4, 101.4, 140.3, 56, 103.6, 89.9, 56.5, 75, 150.8, 101.3, 65.1, 84.1, 69.7, 89.8, 85.9, 79.2, 89.8, 108.2, 89.1, 106.4],6    AreaCode="445302",7)8print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Hosking (1990) L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics
Coles (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values，第 3 章
平台数据集：县级暴雨重现期表（county-rainstorm-return-period）

覆盖的考试公式

EVT-008块最大值与 GEV 类型CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用 Gumbel 分布拟合年最大值序列（L 矩法、最大似然法），另给 GEV 的 L 矩估计；算 2—100 年一遇的值，和平台县级暴雨重现期表的同一个县比较。

说明和限制

平台的县级暴雨重现期表用 Gumbel 分布、L 矩法拟合格点的年最大日降水，再取县内格点参数的中位数。
默认序列是示例数据：按云城区表中的参数生成，不是观测值。换成某个站点或格点的年最大值序列，就能复算它的重现期。
L 矩法对异常大的值不敏感，小样本上通常比最大似然法稳。GEV 的形状参数 ξ 明显大于 0 时，Gumbel 会低估长重现期的值。

数据

对照用平台的县级暴雨重现期表（真实数据）。年最大值序列是输入的，默认是按表中参数生成的示例序列

county-rainstorm-return-period

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算
pandas3.1.1BSD-3-Clause表格数据

05同族的方法

极值理论，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一列年最大日降水，算出的 10 年、50 年、100 年一遇是多少？L 矩法和最大似然法差多少？和平台的县级重现期表对得上吗？”