Hill 估计和 Hill 图

参考

• Hill (1975) A simple general approach to inference about the tail of a distribution
• Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models极值理论：Hill 估计
• McNeil、Frey、Embrechts：Quantitative Risk Management，Hill 估计一节

覆盖的考试公式

• EVT-005Hill 估计量ASTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用最大的 k 个损失估计 Pareto 型尾部的指数 α（ξ = 1/α），画 Hill 图找平稳的 k；按 Hill 尾部外推超过某个金额的概率和 VaR（Weissman 估计）。

说明和限制

• Hill 估计只适用于 Pareto 型的厚尾（ξ > 0）。对数正态这类尾部会让 Hill 图一直漂移。
• k 太小方差大，k 太大偏差大。在 Hill 图上找一段平稳的 k。
• 有的公式表把阈值 x_(j) 本身也算进平均，分母是 n − j + 1（j = n − k），结果比经典 Hill 估计大。两个都列出来，外推用经典的。

数据

没有用平台数据：默认是模拟的示例损失，也可以输入一列损失

开源库和版本

• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算