超阈值方法：广义 Pareto 分布和尾部的 VaR、ES · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

怎么得到参数

损失数据

损失金额20 个数 · 元

选“用输入的一列损失”时用

最小 520最大 2.8 万均值 4,746

10–10,000 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

模拟用的分布

模拟的损失个数

1005 万

模拟的 Pareto α

0.520

模拟的 Pareto θ元

1 元10,000 万元

随机数种子

0214,748.36 万

其余 2 个参数

阈值取样本的哪个分位数

0.50.995

VaR、ES 的置信水平 p

0.50.9999

当前选项用不到的 6 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

模拟的 2000 个损失：两参数 Pareto(α = 2.5, θ = 1000)，种子 2026（示例数据）

输出

用时 978 毫秒 · 11/14 22:41 运行

阈值 u: 1,565.69元
超过阈值的个数: 200个
ζ = 超过阈值的比例: 10%
ξ（形状）: 0.545087
ξ 的标准误: 0.109254
β（尺度）: 903.928元
β 的标准误: 112.36元
VaR（p = 0.995，GPD）: 8,396.09元
ES（p = 0.995，GPD）: 1.857 万元
阈值处的平均超额 e(u): 1,987.03元
VaR（p = 0.995，经验）: 9,314.52元
VaR（p = 0.995，真实值）: 7,325.53元
ES（p = 0.995，真实值）: 1.288 万元
真实的 ξ = 1/α: 0.4

平均超额图：近似直线的那段适合用 GPD

经验平均超额
拟合的 GPD

纵轴：平均超额（元）

各置信水平的 VaR 和 ESlevels4 行 · 7 列

结果表各置信水平的 VaR 和 ES
置信水平	VaR（GPD）	ES（GPD）	VaR（经验）	TVaR（经验）	VaR（真实值）	TVaR（真实值）
0.95	2,327.03	5,226.33	2,306.97	4,925.11	2,314.45	4,524.09
0.99	5,725.11	12,696.07	5,687.74	11,297.6	5,309.57	9,515.96
0.995	8,396.09	18,567.46	9,314.52	15,675.9	7,325.53	12,875.89
0.999	20,317.31	44,772.94	18,329.87	23,577.24	14,848.93	25,414.89

不同阈值的参数稳定性stability15 行 · 5 列

结果表不同阈值的参数稳定性
阈值的分位数	阈值（元）	超额个数	ξ	修正尺度 β − ξu
0.7	638.282	600	0.457235	335.384
0.72	683.647	560	0.460831	328.446
0.74	731.403	520	0.459419	331.477
0.76	786.675	480	0.459964	329.712
0.78	845.616	440	0.455288	340.631
0.8	912.973	400	0.447976	358.14
0.82	993.882	360	0.443346	369.68
0.84	1,094.88	320	0.449712	352.293
0.86	1,217.68	280	0.462399	314.857
0.88	1,366.71	240	0.492783	226.415
0.9	1,565.69	200	0.545087	50.4935
0.92	1,804.91	160	0.597688	-138.061
0.94	2,086.26	120	0.578031	-53.1841
0.96	2,574.99	80	0.544801	135.981
0.98	3,832.76	40	0.396955	1,148.1

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：VaR = 1000 + 200(√5 − 1) = 1247.2136；ES = (VaR + 100 − 500)/0.5 = 1694.4272；e(u) = β/(1 − ξ) = 200
参数β 100 元怎么得到参数直接输入 GPD 的参数（只算 VaR、ES、平均超额）VaR、ES 的置信水平 p 0.99阈值 u 1,000 元ξ 0.5超过阈值的概率 ζ = Pr(X > u) 0.05其余用默认值
项标准答案平台算出
ES（p = 0.995，GPD）es 1,694.4272 1,694.4272
阈值处的平均超额 e(u)me_u 200 200
VaR（p = 0.995，GPD）var 1,247.2136 1,247.2136
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算：ξ = 0 时超额是指数分布，VaR = u + β ln(ζ/(1 − p)) = 1000 + 100 ln 5；ES = VaR + β
参数β 100 元怎么得到参数直接输入 GPD 的参数（只算 VaR、ES、平均超额）VaR、ES 的置信水平 p 0.99阈值 u 1,000 元ξ 0超过阈值的概率 ζ = Pr(X > u) 0.05其余用默认值
项标准答案平台算出
ES（p = 0.995，GPD）es 1,260.9438 1,260.9438
VaR（p = 0.995，GPD）var 1,160.9438 1,160.9438
允许误差 0.000001
第 3 条
这次算出的数对得上
独立实现交叉核对：同样的种子生成同样的 2000 个损失，取 90% 分位数以上的超额，用 scipy.stats.genpareto.fit(floc=0) 拟合
参数怎么得到参数用损失数据拟合模拟的损失个数 2,000随机数种子 2,026模拟的 Pareto α 2.5模拟用的分布两参数 Pareto(α, θ)（厚尾，真实 ξ = 1/α）模拟的 Pareto θ 1,000 元损失数据模拟的示例损失（固定种子）阈值取样本的哪个分位数 0.9其余用默认值
项标准答案这次算出
β（尺度）beta 903.92789 903.92789
ξ（形状）xi 0.5450868 0.5450868
允许误差 0.002
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	平台算出
ES（p = 0.995，GPD）es	1,694.4272	1,694.4272
阈值处的平均超额 e(u)me_u	200	200
VaR（p = 0.995，GPD）var	1,247.2136	1,247.2136

项	标准答案	平台算出
ES（p = 0.995，GPD）es	1,260.9438	1,260.9438
VaR（p = 0.995，GPD）var	1,160.9438	1,160.9438

项	标准答案	这次算出
β（尺度）beta	903.92789	903.92789
ξ（形状）xi	0.5450868	0.5450868

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：16 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 22 行978 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.evt import pot_gpd34result = pot_gpd.pot_gpd(5    mode="fit",6    source="simulated",7    losses=[1200, 850, 4300, 960, 15000, 2300, 610, 7800, 1900, 3300, 520, 28000, 1100, 2600, 690, 5400, 980, 12000, 1500, 3900],8    sim_dist="pareto",9    n=2000,10    sim_alpha=2.5,11    sim_theta=1000,12    sim_mu=7,13    sim_sigma=1.2,14    seed=2026,15    threshold_q=0.9,16    p=0.995,17    xi=0.5,18    beta=100,19    u=1000,20    zeta=0.05,21)22print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

McNeil、Frey、Embrechts：Quantitative Risk Management，超阈值方法一节
Coles (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values，第 4 章
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models极值理论：超额损失和 GPD

覆盖的考试公式

EVT-002广义 Pareto 分布（GPD）ASTAMCS2SP8
EVT-003GPD 的平均超额损失ASTAMCS2
EVT-004超阈值模型的 VaR 与 ESASTAM
EVT-007尾部厚度判断：密度比、危险率与平均剩余寿命ASTAMCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对超过阈值的损失拟合广义 Pareto 分布（最大似然），算 VaR、ES 和平均超额函数；平均超额图、形状参数稳定图帮助选阈值；模拟数据时和真实值比较。

说明和限制

这里的广义 Pareto 分布是极值理论的写法（scipy 的 genpareto），不是 Loss Models 的三参数广义 Pareto 分布。
阈值要足够高（GPD 近似才成立），又要留下足够多的超额数据（通常至少 50 个）。看平均超额图从哪里开始近似直线，形状参数图从哪里开始平稳。
ζ_u 用样本里超过阈值的比例估计。ξ ≥ 1 时 ES 不存在。

数据

没有用平台数据：默认是模拟的示例损失，也可以输入一列损失

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

极值理论，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“大额损失的尾部怎么建模？选哪个阈值？99.5% 的 VaR 和 ES 是多少，比经验估计可靠在哪里？”