最大吸引域：最大值收敛到哪一型极值分布

很多个独立损失里的最大值，近似服从什么分布？指数、Pareto、均匀、正态分别收敛到哪一型，要多大的 n 才够近似？

SOA ASTAM按输入的参数计算

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 5 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

原来的分布

一块里的个数 n

2100 万

尺度参数 θ

0100,000 万

看哪一点 x

标准化以后

-1050

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

指数分布 Exp(θ) → Gumbel 型

输出

用时 844 毫秒 · 11/14 22:44 运行

精确值 F^n(c_n x + d_n)（n = 50，x = 1）: 0.69126
极限 H(x): 0.692201
n·S(c_n x + d_n): 0.367879
−ln H(x): 0.367879
n = 50 时的最大误差 sup|F^n − H|: 0.00544871
标准化常数: c_n = θ，d_n = θ ln n

标准化最大值的分布和极限

n = 5
n = 50
极限 H(x)

纵轴：分布函数

最大值分布收敛的误差convergence6 行 · 2 列

结果表最大值分布收敛的误差
n	最大误差 sup\|F^n − H\|
5	0.0579686
10	0.0279443
50	0.00544871
100	0.00271547
1000	0.000270747
10000	0.00002707

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：(1 − e^{−1}/10)^{10} = 0.687415；exp(−e^{−1}) = 0.69220
参数一块里的个数 n 10原来的分布指数分布 Exp(θ) → Gumbel 型看哪一点 x 1其余用默认值
项标准答案平台算出
精确值 F^n(c_n x + d_n)（n = 50，x = 1）exact 0.6874151 0.68741515
极限 H(x)limit 0.6922006 0.69220063
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：S(c_n·1 − θ) = 1/(n·1^α)，F^n = 0.9^{10} = 0.34868；极限 e^{−1}；n·S = 1 = −ln H(1)
参数Pareto 的 α 2一块里的个数 n 10原来的分布两参数 Pareto(α, θ) → Fréchet 型尺度参数 θ 1看哪一点 x 1
项标准答案平台算出
精确值 F^n(c_n x + d_n)（n = 50，x = 1）exact 0.34867844 0.34867844
极限 H(x)limit 0.36787944 0.36787944
n·S(c_n x + d_n)nS 1 1
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：F(1 − 1/10)^{10} = 0.9^{10}；极限 e^{−1}
参数一块里的个数 n 10原来的分布均匀分布 U(0, θ) → Weibull 型尺度参数 θ 1看哪一点 x -1其余用默认值
项标准答案平台算出
精确值 F^n(c_n x + d_n)（n = 50，x = 1）exact 0.34867844 0.34867844
极限 H(x)limit 0.36787944 0.36787944
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
精确值 F^n(c_n x + d_n)（n = 50，x = 1）exact	0.6874151	0.68741515
极限 H(x)limit	0.6922006	0.69220063

项	标准答案	平台算出
精确值 F^n(c_n x + d_n)（n = 50，x = 1）exact	0.34867844	0.34867844
极限 H(x)limit	0.36787944	0.36787944
n·S(c_n x + d_n)nS	1	1

项	标准答案	平台算出
精确值 F^n(c_n x + d_n)（n = 50，x = 1）exact	0.34867844	0.34867844
极限 H(x)limit	0.36787944	0.36787944

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行844 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.evt import max_domain34result = max_domain.max_domain(5    parent="exponential",6    n=50,7    alpha=2,8    theta=1,9    x=1,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models极值分布：最大吸引域
Embrechts、Klüppelberg、Mikosch：Modelling Extremal Events，第 3 章

覆盖的考试公式

EVT-006最大吸引域条件ASTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对选定的分布和 n，算标准化最大值的精确分布 F^n(c_n x + d_n)、极限的极值分布 H(x)、n·S(c_n x + d_n) 和 −ln H(x)，看收敛的快慢。

说明和限制

全部用精确公式计算，没有模拟。
正态分布的最大值收敛到 Gumbel 非常慢：n = 1000 时误差仍然明显。实际中这是用 GEV 而不是直接用 Gumbel 的原因之一。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

极值理论，还有 6 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“很多个独立损失里的最大值，近似服从什么分布？指数、Pareto、均匀、正态分别收敛到哪一型，要多大的 n 才够近似？”