生命表函数和期望余命

按中国的经验生命表，x 岁的人活过 t 年的概率、平均还能活多少年、余命的中位数是多少？

SOA FAMCAS MAS-IIFoA CM1IFoA CS2真实数据

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输入

生命表

年龄 x岁

0 岁104 岁

t 年年

0 年105 年

再过 u 年年

延期死亡概率用

0 年105 年

定期的年数 n年

0 年105 年

余命分位数的水平

0.010.99

基数 l_0人

1 人100,000 万人

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）：第四套非养老类业务一表（男）

insured-life-mortality-2025

输出

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l_40: 9.838 万人
q_40: 0.001202
20 年生存概率 20p_40: 93.39%
20 年死亡概率 20q_40: 6.61%
延期死亡概率 20|10q_40: 10.82%
取整期望余命 e_40: 39.4155年
完全期望余命 e̊_40（UDD）: 39.9155年
20 年取整期望余命 e_40:20: 19.4962年
20 年完全期望余命 e̊_40:20（UDD）: 19.5292年
Var(K_x): 127.662年²
Var(T_x)（UDD）: 127.746年²
余命 T_x 的 0.5 分位数（UDD）: 41.8523年
K_x 的 0.5 分位数: 41年
中心死亡率 m_40: 0.12%
递推 e_x = p_x(1 + e_{x+1}) 的差: 1.42×10⁻¹⁴

第四套非养老类业务一表（男）：生存人数 l_x 和死亡人数 d_x

纵轴：人

pyliferisk 交叉核对：e_x = 39.415479，20p_x = 0.933889，和本方法差 2.1e-14。

生命表life_table106 行 · 10 列

结果表生命表
年龄	l_x	d_x	q_x	p_x	L_x	T_x	m_x	e̊_x	e_x
0	100,000	31.9	0.000319	0.999681	99,984.05	7,905,470.31	0.000319051	79.0547	78.5547
1	99,968.1	25.2919	0.000253	0.999747	99,955.45	7,805,486.26	0.000253032	78.0798	77.5798
2	99,942.81	20.0885	0.000201	0.999799	99,932.76	7,705,530.81	0.00020102	77.0994	76.5994
3	99,922.72	15.9876	0.00016	0.99984	99,914.73	7,605,598.04	0.000160013	76.1148	75.6148
4	99,906.73	12.9879	0.00013	0.99987	99,900.24	7,505,683.32	0.000130008	75.1269	74.6269
5	99,893.74	10.9883	0.00011	0.99989	99,888.25	7,405,783.08	0.000110006	74.1366	73.6366
6	99,882.76	9.88839	0.000099	0.999901	99,877.81	7,305,894.83	0.000099	73.1447	72.6447
7	99,872.87	9.5878	0.000096	0.999904	99,868.07	7,206,017.02	0.000096	72.1519	71.6519
8	99,863.28	9.98633	0.0001	0.9999	99,858.29	7,106,148.95	0.000100005	71.1588	70.6588
9	99,853.29	11.0837	0.000111	0.999889	99,847.75	7,006,290.66	0.000111006	70.1658	69.6658
10	99,842.21	12.8796	0.000129	0.999871	99,835.77	6,906,442.91	0.000129008	69.1736	68.6736
11	99,829.33	15.0742	0.000151	0.999849	99,821.79	6,806,607.14	0.000151011	68.1824	67.6824
12	99,814.26	17.5673	0.000176	0.999824	99,805.47	6,706,785.34	0.000176015	67.1927	66.6927
13	99,796.69	20.1589	0.000202	0.999798	99,786.61	6,606,979.87	0.00020202	66.2044	65.7044
14	99,776.53	22.749	0.000228	0.999772	99,765.15	6,507,193.26	0.000228026	65.2177	64.7177
15	99,753.78	25.138	0.000252	0.999748	99,741.21	6,407,428.11	0.000252032	64.2324	63.7324
16	99,728.64	27.3256	0.000274	0.999726	99,714.98	6,307,686.9	0.000274038	63.2485	62.7485
17	99,701.32	29.3122	0.000294	0.999706	99,686.66	6,207,971.92	0.000294043	62.2657	61.7657
18	99,672	31.0977	0.000312	0.999688	99,656.46	6,108,285.26	0.000312049	61.2839	60.7839
19	99,640.91	32.7819	0.000329	0.999671	99,624.52	6,008,628.8	0.000329054	60.3028	59.8028
20	99,608.13	34.564	0.000347	0.999653	99,590.84	5,909,004.29	0.00034706	59.3225	58.8225
21	99,573.56	36.4439	0.000366	0.999634	99,555.34	5,809,413.44	0.000366067	58.3429	57.8429
22	99,537.12	38.5209	0.000387	0.999613	99,517.86	5,709,858.1	0.000387075	57.3641	56.8641
23	99,498.6	40.7944	0.00041	0.99959	99,478.2	5,610,340.25	0.000410084	56.3861	55.8861
24	99,457.8	43.2641	0.000435	0.999565	99,436.17	5,510,862.05	0.000435095	55.409	54.909
25	99,414.54	45.7307	0.00046	0.99954	99,391.67	5,411,425.88	0.000460106	54.4329	53.9329
26	99,368.81	48.2932	0.000486	0.999514	99,344.66	5,312,034.21	0.000486118	53.4578	52.9578
27	99,320.51	50.8521	0.000512	0.999488	99,295.09	5,212,689.55	0.000512131	52.4835	51.9835
28	99,269.66	53.3078	0.000537	0.999463	99,243.01	5,113,394.46	0.000537144	51.5101	51.0101
29	99,216.35	55.7596	0.000562	0.999438	99,188.47	5,014,151.45	0.000562158	50.5376	50.0376
30	99,160.59	58.2073	0.000587	0.999413	99,131.49	4,914,962.98	0.000587172	49.5657	49.0657
31	99,102.39	60.948	0.000615	0.999385	99,071.91	4,815,831.49	0.000615189	48.5945	48.0945
32	99,041.44	64.0798	0.000647	0.999353	99,009.4	4,716,759.57	0.000647209	47.6241	47.1241
33	98,977.36	67.7995	0.000685	0.999315	98,943.46	4,617,750.17	0.000685235	46.6546	46.1546
34	98,909.56	72.204	0.00073	0.99927	98,873.46	4,518,806.71	0.000730267	45.6862	45.1862
35	98,837.36	77.4885	0.000784	0.999216	98,798.61	4,419,933.26	0.000784307	44.7193	44.2193
36	98,759.87	83.6496	0.000847	0.999153	98,718.04	4,321,134.64	0.000847359	43.754	43.254
37	98,676.22	90.8808	0.000921	0.999079	98,630.78	4,222,416.6	0.000921424	42.7906	42.2906
38	98,585.34	98.9797	0.001004	0.998996	98,535.85	4,123,785.83	0.0010045	41.8296	41.3296
39	98,486.36	108.04	0.001097	0.998903	98,432.34	4,025,249.98	0.0010976	40.8711	40.3711
40	98,378.32	118.251	0.001202	0.998798	98,319.19	3,926,817.64	0.00120272	39.9155	39.4155
41	98,260.07	129.507	0.001318	0.998682	98,195.31	3,828,498.45	0.00131887	38.9629	38.4629
42	98,130.56	142.093	0.001448	0.998552	98,059.51	3,730,303.14	0.00144905	38.0137	37.5137
43	97,988.47	156.096	0.001593	0.998407	97,910.42	3,632,243.62	0.00159427	37.0681	36.5681
44	97,832.37	171.696	0.001755	0.998245	97,746.52	3,534,333.2	0.00175654	36.1264	35.6264
45	97,660.68	188.778	0.001933	0.998067	97,566.29	3,436,586.68	0.00193487	35.1891	34.6891
46	97,471.9	207.518	0.002129	0.997871	97,368.14	3,339,020.39	0.00213127	34.2562	33.7562
47	97,264.38	227.793	0.002342	0.997658	97,150.48	3,241,652.25	0.00234475	33.3283	32.8283
48	97,036.59	249.578	0.002572	0.997428	96,911.8	3,144,501.77	0.00257531	32.4053	31.9053
49	96,787.01	273.133	0.002822	0.997178	96,650.44	3,047,589.97	0.00282599	31.4876	30.9876
50	96,513.88	298.517	0.003093	0.996907	96,364.62	2,950,939.53	0.00309779	30.5753	30.0753
51	96,215.36	326.17	0.00339	0.99661	96,052.27	2,854,574.91	0.00339576	29.6686	29.1686
52	95,889.19	356.612	0.003719	0.996281	95,710.88	2,758,522.64	0.00372593	28.7678	28.2678
53	95,532.58	390.442	0.004087	0.995913	95,337.36	2,662,811.76	0.00409537	27.8733	27.3733
54	95,142.13	428.044	0.004499	0.995501	94,928.11	2,567,474.4	0.00450914	26.9857	26.4857
55	94,714.09	469.687	0.004959	0.995041	94,479.25	2,472,546.29	0.00497133	26.1054	25.6054
56	94,244.4	515.328	0.005468	0.994532	93,986.74	2,378,067.04	0.00548299	25.233	24.733
57	93,729.07	564.624	0.006024	0.993976	93,446.76	2,284,080.3	0.0060422	24.369	23.869
58	93,164.45	617.308	0.006626	0.993374	92,855.8	2,190,633.54	0.00664802	23.5136	23.0136
59	92,547.14	672.725	0.007269	0.992731	92,210.78	2,097,777.75	0.00729552	22.6671	22.1671
60	91,874.42	730.585	0.007952	0.992048	91,509.13	2,005,566.97	0.00798374	21.8294	21.3294
61	91,143.83	791.037	0.008679	0.991321	90,748.31	1,914,057.84	0.00871683	21.0004	20.5004
62	90,352.8	854.376	0.009456	0.990544	89,925.61	1,823,309.53	0.00950092	20.1799	19.6799
63	89,498.42	921.655	0.010298	0.989702	89,037.59	1,733,383.92	0.0103513	19.3678	18.8678
64	88,576.76	994.008	0.011222	0.988778	88,079.76	1,644,346.33	0.0112853	18.5641	18.0641
65	87,582.76	1,073.06	0.012252	0.987748	87,046.22	1,556,266.57	0.0123275	17.7691	17.2691
66	86,509.69	1,160.44	0.013414	0.986586	85,929.47	1,469,220.34	0.0135046	16.9833	16.4833
67	85,349.25	1,257.96	0.014739	0.985261	84,720.27	1,383,290.87	0.0148484	16.2074	15.7074
68	84,091.29	1,367.07	0.016257	0.983743	83,407.75	1,298,570.6	0.0163902	15.4424	14.9424
69	82,724.22	1,489.45	0.018005	0.981995	81,979.49	1,215,162.85	0.0181686	14.6893	14.1893
70	81,234.77	1,626.24	0.020019	0.979981	80,421.65	1,133,183.36	0.0202214	13.9495	13.4495
71	79,608.53	1,778.45	0.02234	0.97766	78,719.3	1,052,761.71	0.0225924	13.2242	12.7242
72	77,830.07	1,946.76	0.025013	0.974987	76,856.69	974,042.41	0.0253298	12.515	12.015
73	75,883.31	2,131.26	0.028086	0.971914	74,817.68	897,185.72	0.028486	11.8232	11.3232
74	73,752.05	2,331.82	0.031617	0.968383	72,586.14	822,368.04	0.0321248	11.1504	10.6504
75	71,420.23	2,547.35	0.035667	0.964333	70,146.56	749,781.9	0.0363146	10.4982	9.99817
76	68,872.89	2,776.06	0.040307	0.959693	67,484.86	679,635.34	0.041136	9.86797	9.36797
77	66,096.83	3,014.81	0.045612	0.954388	64,589.42	612,150.48	0.0466765	9.26142	8.76142
78	63,082.02	3,259.26	0.051667	0.948333	61,452.39	547,561.05	0.0530371	8.68014	8.18014
79	59,822.76	3,503.4	0.058563	0.941437	58,071.06	486,108.66	0.0603295	8.12581	7.62581
80	56,319.36	3,739.38	0.066396	0.933604	54,449.67	428,037.6	0.0686759	7.60019	7.10019
81	52,579.98	3,978.52	0.075666	0.924334	50,590.72	373,587.93	0.0786412	7.10514	6.60514
82	48,601.46	4,090.59	0.084166	0.915834	46,556.17	322,997.21	0.0878636	6.64583	6.14583
83	44,510.87	4,160.3	0.093467	0.906533	42,430.72	276,441.04	0.0980492	6.21064	5.71064
84	40,350.57	4,180.64	0.103608	0.896392	38,260.25	234,010.32	0.109269	5.79943	5.29943
85	36,169.93	4,145.98	0.114625	0.885375	34,096.94	195,750.07	0.121594	5.41196	4.91196
86	32,023.95	4,052.38	0.126542	0.873458	29,997.77	161,653.12	0.135089	5.04788	4.54788
87	27,971.58	3,898.54	0.139375	0.860625	26,022.31	131,655.36	0.149815	4.70675	4.20675
88	24,073.04	3,686.28	0.153129	0.846871	22,229.9	105,633.05	0.165825	4.38802	3.88802
89	20,386.76	3,420.71	0.167791	0.832209	18,676.4	83,403.15	0.183157	4.09104	3.59104
90	16,966.04	3,110.45	0.183334	0.816666	15,410.82	64,726.75	0.201836	3.81508	3.31508
91	13,855.59	2,767.16	0.199714	0.800286	12,472.01	49,315.93	0.221869	3.55928	3.05928
92	11,088.44	2,404.72	0.216867	0.783133	9,886.08	36,843.92	0.243243	3.32273	2.82273
93	8,683.72	2,038.16	0.23471	0.76529	7,664.64	26,957.84	0.265917	3.10441	2.60441
94	6,645.56	1,682.27	0.253142	0.746858	5,804.43	19,293.19	0.289826	2.90317	2.40317
95	4,963.29	1,350.25	0.272048	0.727952	4,288.17	13,488.77	0.314879	2.71771	2.21771
96	3,613.04	1,052.46	0.291295	0.708705	3,086.81	9,200.6	0.340954	2.5465	2.0465
97	2,560.58	795.682	0.310743	0.689257	2,162.74	6,113.79	0.367905	2.38766	1.88766
98	1,764.9	582.843	0.330242	0.669758	1,473.48	3,951.05	0.395557	2.23869	1.73869
99	1,182.05	413.296	0.349642	0.650358	975.406	2,477.58	0.423717	2.09599	1.59599
100	768.758	283.515	0.368796	0.631204	627.001	1,502.17	0.452176	1.95402	1.45402
101	485.243	188.063	0.387564	0.612436	391.212	875.171	0.480719	1.80357	1.30357
102	297.18	120.6	0.405815	0.594185	236.88	483.96	0.509119	1.6285	1.1285
103	176.58	74.7706	0.423437	0.576563	139.195	247.079	0.537165	1.39925	0.899248
104	101.81	44.8298	0.44033	0.55967	79.3947	107.885	0.564645	1.05967	0.55967
105	56.9798	56.9798	1	0	28.4899	28.4899	2	0.5	0

开源库pyliferisk1.13.0· GPL-3.0-or-later numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：q = 0.1、0.2、0.5、1，l = 100000、90000、72000、36000；e_0 = 1.98，e̊_0 = 2.48，e_{0:2} = 1.62，₂|₁q₀ = 0.36，E[K²] = 0.9 + 3×0.72 + 5×0.36 = 4.86；e̊_{0:2} = (L_0 + L_1)/l_0 = (95000 + 81000)/100000

参数定期的年数 n 2 年qx 4 个数t 年 2 年再过 u 年 1 年年龄 x 0 岁其余用默认值

项	标准答案	平台算出
延期死亡概率 20\|10q_40deferred_q	0.36	0.36
完全期望余命 e̊_40（UDD）e_complete	2.48	2.48
20 年完全期望余命 e̊_40:20（UDD）e_complete_n	1.76	1.76
取整期望余命 e_40e_curtate	1.98	1.98
20 年取整期望余命 e_40:20e_curtate_n	1.62	1.62
20 年生存概率 20p_40tpx	0.72	0.72
Var(K_x)var_K	0.9396	0.9396

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

题里用了页面上没有的参数（qx），平台在测试里运行

第 2 条
平台算出的数对得上
手算（UDD 插值）：1 岁的 ₁p = 0.8、₂p = 0.4，中位数在第 2 年里：1 + (0.8 − 0.5)/(0.8 − 0.4) = 1.75
参数余命分位数的水平 0.5qx 4 个数年龄 x 1 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
余命 T_x 的 0.5 分位数（UDD）quantile 1.75 1.75
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
题里用了页面上没有的参数（qx），平台在测试里运行
第 3 条
平台算出的数对得上
pyliferisk 1.13 独立计算：第四套非养老类业务一表（男），ex(30) = Σ l_{31..} / l_30 = 49.065687
参数生命表第四套非养老类业务一表（男）年龄 x 30 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
取整期望余命 e_40e_curtate 49.065687 49.065687
说明：pyliferisk 的 ex 按 lx 从 31 岁加到表末，和本方法的取整期望余命定义相同
允许误差 0.000005

项	标准答案	平台算出
余命 T_x 的 0.5 分位数（UDD）quantile	1.75	1.75

项	标准答案	平台算出
取整期望余命 e_40e_curtate	49.065687	49.065687

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行392 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.survival import table_functions34result = table_functions.table_functions(5    table="2025-CL2-M",6    x=40,7    t=20,8    u=10,9    n=20,10    pct=0.5,11    radix=100000,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库pyliferisk1.13.0· GPL-3.0-or-later numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 3 章生命表
中国精算师协会：中国人身保险业经验生命表（2025）

覆盖的考试公式

SRV-001生存函数与未来寿命分布FAMMAS-ICM1CS2
SRV-002生存与死亡概率的乘法与延期关系FAMMAS-ICM1
SRV-003生命表函数FAMCM1
SRV-005完全期望余命及其二阶矩FAMCM1
SRV-006取整期望余命及其二阶矩FAMCM1
SRV-007期望余命递推FAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用平台的经验生命表（第四套 2025、第三套 2010—2013）或自己的表：整张表的 l、d、q、p、L、T、m、e̊、e；x 岁的 tpx、tqx、延期死亡概率、取整和完全期望余命（含 n 年定期）、余命的方差、中位数和分位数。和开源库 pyliferisk 交叉核对。

说明和限制

L_x、T_x、e̊_x、m_x、余命的分位数和 Var(T_x) 按死亡在年内均匀分布（UDD）：T_x = K_x + U，U 在 (0, 1) 上均匀、和 K_x 独立，所以 e̊_x = e_x + 1/2，Var(T_x) = Var(K_x) + 1/12。
表的最后一个年龄的 q 是 1（第四套到 105 岁）。
经验生命表是保险业被保险人的死亡经验，和全国人口的预期寿命不同。

数据

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

pyliferisk1.13.0GPL-3.0-or-later人身险精算：生命表和换算函数（用来校验）
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

生存模型与生命表，还有 4 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“按中国的经验生命表，x 岁的人活过 t 年的概率、平均还能活多少年、余命的中位数是多少？”