参数死亡律：生存函数、期望余命和分位数

按 Gompertz、Makeham、de Moivre、Weibull 或常数死亡力，x 岁的人活过 t 年的概率、期望余命和余命的分位数是多少？

SOA FAMCAS MAS-IIFoA CM1IFoA CS1IFoA CS2按输入的参数计算

公式

\displaystyle {}_tp_x=e^{-\int_0^t\mu_{x+s}ds},\ f_x(t)={}_tp_x\mu_{x+t},\ {}_{t|u}q_x={}_tp_x-{}_{t+u}p_x,\ \mathring e_x=\int_0^\infty{}_tp_xdt,\ E[T_x^2]=\int_0^\infty2t\,{}_tp_xdt,\ e_x=\sum_{k\ge1}{}_kp_x,\ E[K_x^2]=\sum_{k\ge1}(2k-1){}_kp_x;\ \text{Gompertz/Makeham：}{}_tp_x=\exp\!\Big(-At-\frac{Bc^x(c^t-1)}{\ln c}\Big)

对过的标准答案: 5 条
覆盖的考试公式: 7 个
参数: 14 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡律

Makeham 的 A

00.05

Gompertz/Makeham 的 B

00.01

Gompertz/Makeham 的 c

1.0011.5

年龄 x岁

0 岁120 岁

t 年年

0 年100 年

再过 u 年年

延期死亡概率用

0 年100 年

定期的年数 n年

e_x:n 用

0 年100 年

分位数的水平

0.010.99

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的死亡律参数计算

输出

用时 479 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

10 年生存概率 tpx: 98.03%
10 年死亡概率 tqx: 1.97%
延期死亡概率 10|5q_x: 2.08%
死亡力 μ_{60}: 0.00322153
密度 f_x(10): 0.00315806
完全期望余命 e̊_x: 36.5914年
Var(T_x): 107.322年²
20 年完全期望余命 e̊_x:n: 19.4882年
取整期望余命 e_x: 36.0915年
Var(K_x): 107.399年²
20 年取整期望余命 e_x:n: 19.4496年
余命 T_x 的 0.5 分位数: 38.1882年

A = 0.00022，B = 2.7e-06，c = 1.124：50 岁的生存函数

纵轴：tpx

e̊_x − e_x = 0.4999，接近 1/2（死亡在年内均匀时正好是 1/2）。

整数余命的分布curtate121 行 · 4 列

结果表整数余命的分布
k	kpx	Pr(K_x = k)	死亡力 μ_{x+k}
0	1	0.00120853	0.00115257
1	0.998791	0.00132943	0.0012682
2	0.997462	0.001465	0.00139818
3	0.995997	0.00161696	0.00154428
4	0.99438	0.00178726	0.00170849
5	0.992593	0.00197802	0.00189306
6	0.990615	0.00219162	0.00210052
7	0.988423	0.0024307	0.0023337
8	0.985992	0.00269815	0.0025958
9	0.983294	0.00299716	0.0028904
10	0.980297	0.00333126	0.00322153
11	0.976966	0.00370427	0.00359372
12	0.973262	0.0041204	0.00401206
13	0.969141	0.0045842	0.00448227
14	0.964557	0.00510059	0.0050108
15	0.959456	0.00567485	0.00560485
16	0.953782	0.00631263	0.00627258
17	0.947469	0.00701988	0.0070231
18	0.940449	0.00780284	0.00786668
19	0.932646	0.00866793	0.00881487
20	0.923978	0.00962169	0.00988063
21	0.914357	0.0106706	0.0110786
22	0.903686	0.0118208	0.012425
23	0.891865	0.0130782	0.0139384
24	0.878787	0.0144475	0.0156395
25	0.86434	0.0159325	0.0175515
26	0.848407	0.0175352	0.0197006
27	0.830872	0.0192551	0.0221162
28	0.811617	0.0210891	0.0248314
29	0.790528	0.0230298	0.0278832
30	0.767498	0.0250653	0.0313134
31	0.742433	0.0271781	0.035169
32	0.715255	0.0293437	0.0395027
33	0.685911	0.0315299	0.0443738
34	0.654381	0.0336959	0.0498488
35	0.620685	0.0357915	0.0560028
36	0.584894	0.037757	0.0629199
37	0.547137	0.0395235	0.0706946
38	0.507613	0.041014	0.0794335
39	0.466599	0.0421459	0.089256
40	0.424453	0.0428347	0.100296
41	0.381618	0.0429989	0.112706
42	0.33862	0.042567	0.126654
43	0.296052	0.0414851	0.142332
44	0.254567	0.0397258	0.159954
45	0.214842	0.0372964	0.179761
46	0.177545	0.0342462	0.202024
47	0.143299	0.0306703	0.227048
48	0.112629	0.0267081	0.255174
49	0.0859205	0.0225364	0.286789
50	0.0633841	0.018355	0.322323
51	0.0450291	0.0143667	0.362264
52	0.0306623	0.010754	0.407157
53	0.0199083	0.00765603	0.457618
54	0.0122523	0.0051521	0.514335
55	0.00710022	0.00325469	0.578085
56	0.00384553	0.00191521	0.64974
57	0.00193032	0.00104071	0.730281
58	0.000889605	0.000517162	0.820808
59	0.000372443	0.00023247	0.922561
60	0.000139973	0.00009338	1.03693
61	0.0000466	0.00003306	1.16548
62	0.00001353	0.00001016	1.30998
63	0.000003372	0.000002665	1.47239
64	7.07×10⁻⁷	5.85×10⁻⁷	1.65494
65	1.22×10⁻⁷	1.05×10⁻⁷	1.86012
66	1.7×10⁻⁸	1.51×10⁻⁸	2.09075
67	1.85×10⁻⁹	1.7×10⁻⁹	2.34997
68	1.53×10⁻¹⁰	1.44×10⁻¹⁰	2.64134
69	9.28×10⁻¹²	8.88×10⁻¹²	2.96884
70	3.98×10⁻¹³	3.86×10⁻¹³	3.33695
71	1.15×10⁻¹⁴	1.13×10⁻¹⁴	3.7507
72	2.16×10⁻¹⁶	2.14×10⁻¹⁶	4.21577
73	2.47×10⁻¹⁸	2.45×10⁻¹⁸	4.73849
74	1.62×10⁻²⁰	1.61×10⁻²⁰	5.32604
75	5.7×10⁻²³	5.69×10⁻²³	5.98644
76	9.95×10⁻²⁶	9.94×10⁻²⁶	6.72873
77	7.91×10⁻²⁹	7.9×10⁻²⁹	7.56307
78	2.59×10⁻³²	2.59×10⁻³²	8.50086
79	3.14×10⁻³⁶	3.14×10⁻³⁶	9.55494
80	1.25×10⁻⁴⁰	1.25×10⁻⁴⁰	10.7397
81	1.41×10⁻⁴⁵	1.4×10⁻⁴⁵	12.0714
82	3.86×10⁻⁵¹	3.86×10⁻⁵¹	13.5683
83	2.17×10⁻⁵⁷	2.17×10⁻⁵⁷	15.2507
84	2.04×10⁻⁶⁴	2.04×10⁻⁶⁴	17.1417
85	2.59×10⁻⁷²	2.59×10⁻⁷²	19.2673
86	3.44×10⁻⁸¹	3.44×10⁻⁸¹	21.6564
87	3.62×10⁻⁹¹	3.62×10⁻⁹¹	24.3418
88	2.21×10⁻¹⁰²	2.21×10⁻¹⁰²	27.3601
89	5.5×10⁻¹¹⁵	5.5×10⁻¹¹⁵	30.7528
90	3.74×10⁻¹²⁹	3.74×10⁻¹²⁹	34.5661
91	4.45×10⁻¹⁴⁵	4.45×10⁻¹⁴⁵	38.8522
92	5.61×10⁻¹⁶³	5.61×10⁻¹⁶³	43.6699
93	4.27×10⁻¹⁸³	4.27×10⁻¹⁸³	49.0849
94	1.04×10⁻²⁰⁵	1.04×10⁻²⁰⁵	55.1714
95	3.98×10⁻²³¹	3.98×10⁻²³¹	62.0127
96	1.07×10⁻²⁵⁹	1.07×10⁻²⁵⁹	69.7022
97	8.31×10⁻²⁹²	8.31×10⁻²⁹²	78.3453
98	0	0	88.06
99	0	0	98.9795
100	0	0	111.253
101	0	0	125.048
102	0	0	140.554
103	0	0	157.983
104	0	0	177.573
105	0	0	199.592
106	0	0	224.341
107	0	0	252.159
108	0	0	283.427
109	0	0	318.572
110	0	0	358.075
111	0	0	402.476
112	0	0	452.383
113	0	0	508.479
114	0	0	571.53
115	0	0	642.4
116	0	0	722.057
117	0	0	811.592
118	0	0	912.23
119	0	0	1,025.35
120	0	0	1,152.49

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

闭式公式：de Moivre ω = 100、x = 30，e̊ = 35，Var(T) = 70²/12，e_x = Σ_{k=1}^{69}(70 − k)/70 = 34.5，₁₀p₃₀ = 60/70，中位数 35，e̊_{30:20} = 20 − 20²/140

参数死亡律 de Moivre：μ_x = 1/(ω − x)定期的年数 n 20 年de Moivre 的极限年龄 ω 100 岁分位数的水平 0.5t 年 10 年年龄 x 30 岁其余用默认值

项	标准答案	平台算出
完全期望余命 e̊_xe_complete	35	35
20 年完全期望余命 e̊_x:ne_complete_n	17.142857	17.142857
取整期望余命 e_xe_curtate	34.5	34.5
余命 T_x 的 0.5 分位数quantile	35	35
10 年生存概率 tpxtpx	0.85714286	0.85714286
Var(T_x)var_T	408.33333	408.33333

允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条

平台算出的数对得上

闭式公式：常数死亡力 μ = 0.02，T 是指数分布，e̊ = 1/μ = 50，Var = 1/μ² = 2500，e_x = p/(1 − p)，₁₀|₅q = e^{−0.2} − e^{−0.3}

参数死亡律常数死亡力：μ_x = μ常数死亡力 μ 0.02定期的年数 n 10 年t 年 10 年再过 u 年 5 年年龄 x 40 岁其余用默认值

项	标准答案	平台算出
延期死亡概率 10\|5q_xdeferred_q	0.077912532	0.077912532
完全期望余命 e̊_xe_complete	50	50
20 年完全期望余命 e̊_x:ne_complete_n	9.0634623	9.0634623
取整期望余命 e_xe_curtate	49.501667	49.501667
Var(T_x)var_T	2,500	2,500

允许误差 1×10⁻⁷ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：Gompertz e̊_x = e^β E₁(β)/ln c，β = Bc^x/ln c（E₁ 是指数积分）；中位数 t = ln(1 + ln2·ln c/(Bc^x))/ln c
参数Gompertz/Makeham 的 B 0.0005Gompertz/Makeham 的 c 1.08死亡律 Gompertz：μ_x = Bc^x分位数的水平 0.5年龄 x 40 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
完全期望余命 e̊_xe_complete 22.700727 22.700727
余命 T_x 的 0.5 分位数quantile 23.087356 23.087356
允许误差 1×10⁻⁷ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式：Weibull μ_x = kx^n，x = 0 时 T 服从 Weibull 分布，e̊_0 = Γ(1 + 1/(n+1))·(k/(n+1))^{−1/(n+1)}
参数Weibull 的 k 0死亡律 Weibull：μ_x = kx^nWeibull 的 n 2年龄 x 0 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
完全期望余命 e̊_xe_complete 102.22064 102.22064
允许误差 1×10⁻⁷ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式：广义 de Moivre α = 2，tpx = ((ω−x−t)/(ω−x))^α，e̊ = (ω − x)/(α + 1) = 20，μ_50 = α/(ω − 50)
参数广义 de Moivre 的 α 2死亡律广义 de Moivre：μ_x = α/(ω − x)de Moivre 的极限年龄 ω 100 岁t 年 10 年年龄 x 40 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
完全期望余命 e̊_xe_complete 20 20
死亡力 μ_{60}mu_xt 0.04 0.04
10 年生存概率 tpxtpx 0.69444444 0.69444444
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
完全期望余命 e̊_xe_complete	22.700727	22.700727
余命 T_x 的 0.5 分位数quantile	23.087356	23.087356

项	标准答案	平台算出
完全期望余命 e̊_xe_complete	102.22064	102.22064

项	标准答案	平台算出
完全期望余命 e̊_xe_complete	20	20
死亡力 μ_{60}mu_xt	0.04	0.04
10 年生存概率 tpxtpx	0.69444444	0.69444444

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行479 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.survival import parametric_law34result = parametric_law.parametric_law(5    law="makeham",6    A=0.00022,7    B=0.0000027,8    c=1.124,9    omega=100,10    alpha=2,11    mu=0.02,12    k=0.000000002,13    wn=4,14    x=50,15    t=10,16    u=5,17    n=20,18    pct=0.5,19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 2 章生存模型
Bowers 等：Actuarial Mathematics第 3 章

覆盖的考试公式

SRV-001生存函数与未来寿命分布FAMMAS-ICM1CS2
SRV-002生存与死亡概率的乘法与延期关系FAMMAS-ICM1
SRV-004死亡力FAMMAS-ICM1CS1CS2
SRV-005完全期望余命及其二阶矩FAMCM1
SRV-006取整期望余命及其二阶矩FAMCM1
SRV-008Gompertz 与 Makeham 死亡律FAMMAS-ICM1CS2
SRV-009其它参数死亡律（Weibull、常数力、De Moivre、Beta）FAMMAS-ICM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

6 种参数死亡律的生存函数 tpx、死亡概率、延期死亡概率、死亡力、密度；完全期望余命 e̊_x 和方差、n 年的完全期望余命，取整期望余命 e_x 和方差、n 年的取整期望余命；余命的中位数和任意分位数；K_x 的分布表。

说明和限制

默认是 AMLCR 标准终极生命表（SULT）的 Makeham 参数 A = 0.00022、B = 2.7×10⁻⁶、c = 1.124。
完全期望余命和二阶矩用自适应数值积分（相对误差 1e-11），积到生存概率小于 1e-16 为止；取整期望余命直接求和。
de Moivre（α = 1）下 T_x 在 (0, ω − x) 上均匀分布：e̊_x = (ω − x)/2，Var(T_x) = (ω − x)²/12。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

生存模型与生命表，还有 4 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“按 Gompertz、Makeham、de Moivre、Weibull 或常数死亡力，x 岁的人活过 t 年的概率、期望余命和余命的分位数是多少？”