分数年龄假设：UDD、常数死亡力和 Balducci · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

q_x 的来源

自己输入经验生命表

生命表

年龄 x岁

用生命表时

0 岁105 岁

年内的时点 s

01

再从 x + t 起算

sq_{x+t} 用，s + t ≤ 1

01

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）：第四套非养老类业务一表（男），70 岁

insured-life-mortality-2025

输出

用时 370 毫秒 · 11/14 22:23 运行

一年的死亡率 q_x: 2%
UDD 的 0.5p_x: 0.989991
常数力的 0.5p_x: 0.98994
Balducci 的 0.5p_x: 0.989889
UDD 的 μ_{x+0.5}: 0.0202214
常数力的 μ: 0.0202221
Balducci 的 μ_{x+0.5}: 0.0202214
UDD 的中心死亡率 m_x: 2.02%

一年内的生存概率 sp_x

死亡均匀分布（UDD）
常数死亡力
Balducci 假设

纵轴：sp_x

三种分数年龄假设的比较compare3 行 · 7 列

结果表三种分数年龄假设的比较
假设	0.5p_x	0.5q_x	μ_{x+0.5}	0.5q_{x+0.25}	∫₀¹ sp_x ds	中心死亡率 m_x
死亡均匀分布（UDD）	0.989991	0.0100095	0.0202214	0.0100598	0.989991	0.0202214
常数死亡力	0.98994	0.0100601	0.0202221	0.0100601	0.989957	0.0202221
Balducci 假设	0.989889	0.0101107	0.0202214	0.0100598	0.989923	0.0202228

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

闭式公式手算（AMLCR 3.3 的公式）：q = 0.1、s = 0.5、t = 0.25；UDD ₀.₅p = 0.95，μ = 0.1/0.95；常数力 ₀.₅p = 0.9^0.5，μ = −ln 0.9；Balducci ₀.₅p = 0.9/0.95；m_x = q/∫sp：UDD 0.1/0.95，常数力 −ln 0.9，Balducci 0.1/(−9 ln 0.9)

参数一年的死亡率 q_x 0.1年内的时点 s 0.5q_x 的来源自己输入再从 x + t 起算 0.25其余用默认值

项	标准答案	平台算出
中心死亡率 m_x表 compare · assume=balducci	0.10545802	0.10545802
0.5p_x表 compare · assume=balducci	0.94736842	0.94736842
0.5q_{x+0.25}表 compare · assume=balducci	0.051282051	0.051282051
中心死亡率 m_x表 compare · assume=cf	0.10536052	0.10536052
μ_{x+0.5}表 compare · assume=cf	0.10536052	0.10536052
0.5p_x表 compare · assume=cf	0.9486833	0.9486833
中心死亡率 m_x表 compare · assume=udd	0.10526316	0.10526316
μ_{x+0.5}表 compare · assume=udd	0.10526316	0.10526316
0.5p_x表 compare · assume=udd	0.95	0.95
0.5q_{x+0.25}表 compare · assume=udd	0.051282051	0.051282051

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行370 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.survival import fractional_age34result = fractional_age.fractional_age(5    source="table",6    q=0.1,7    table="2025-CL2-M",8    age=70,9    s=0.5,10    t=0.25,11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks3.3 分数年龄假设
IFoA CS2 核心读物第 9 章

覆盖的考试公式

SRV-010分数年龄假设：UDDFAMMAS-ICM1
SRV-011分数年龄假设：常数死亡力FAMCM1
GRD-001中心死亡率CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

给定一年的死亡率 q_x（自己输入，或从经验生命表取），按 UDD、常数死亡力、Balducci 三种假设算 sp_x、sq_x、μ_{x+s}、sq_{x+t}、年内平均存活时间 ∫sp_x ds 和中心死亡率 m_x，画出一年内的生存函数和死亡力。

说明和限制

三种假设在整数年龄上一致，年内不同：UDD 的死亡力在年内上升，常数力不变，Balducci 的死亡力在年内下降（不符合多数年龄的经验）。
s + t 大于 1 时，sq_{x+t} 跨了两个年龄，这里把 t 改成 1 − s。
中心死亡率 m_x 是一年的死亡人数除以平均存活人数（中心暴露）。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

生存模型与生命表，还有 4 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“生命表只给整数年龄的死亡率，年内某个时点的生存概率、死亡力怎么算？三种假设差多少？”