有限波动信度：完全信度标准和部分信度

要有多少件赔案，经验才算完全可信？不够时信度 Z 是多少？

SOA FAMSOA ASTAMCAS 5CAS MAS-IIIFoA CS1IFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 8 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 13 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

要估计的量

出险次数（频率）平均每案损失（强度）总损失（纯保费）

概率 p

0.50.9999

允许的相对误差 k

0.0010.5

z 的取值

出险次数的分布

单次损失的分布

单次损失的形状参数

Pareto、伽马的 α，对数正态的 σ，威布尔的 τ

0.0520

每个风险单位的期望出险次数次/单位

换算成风险单位数用

0.0001 次/单位100 次/单位

其余 3 个参数

实际的赔案件数 n件

0 件10,000 万件

经验估计值

例如本组的纯保费

0100,000,000 万

补充项

例如现行费率里的纯保费

0100,000,000 万

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 827 毫秒 · 11/14 22:23 运行

z = Φ⁻¹((1+p)/2): 1.64485
λ_kp = (z/k)²: 1,082.22件
完全信度标准（总损失（纯保费））: 4,567.71件
完全信度标准（取整）: 4,568件
折合风险单位数: 5.71 万单位
信度 Z: 0.512556
信度加权的估计: 500.502

赔案件数和信度 Z（平方根法则）

纵轴：信度 Z

σ_N²/μ_N = 1，CV_X² = 3.221。

不同概率和误差下的完全信度标准（件）grid4 行 · 4 列

结果表不同概率和误差下的完全信度标准（件）
p	k = 2.5%	k = 5%	k = 10%
0.8	11,091.14	2,772.79	693.196
0.9	18,270.84	4,567.71	1,141.93
0.95	25,941.81	6,485.45	1,621.36
0.99	44,806.21	11,201.55	2,800.39

完全信度标准standards3 行 · 5 列

结果表完全信度标准
估计对象	完全信度标准（件）	取整	折合风险单位数	n = 1200 时的 Z
出险次数（频率）	1,082.22	1,083	13,527.72	1
平均每案损失（强度）	3,485.49	3,486	43,568.66	0.586757
总损失（纯保费）	4,567.71	4,568	57,096.38	0.512556

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02标准答案

8 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.6.1：泊松，p = 0.95，k = 5%，(1.960/0.05)² = 1,536.64，取 1,537
参数允许的相对误差 k 0.05概率 p 0.95要估计的量出险次数（频率）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full 1,536.64 1,536.64
完全信度标准（取整）n_full_ceil 1,537 1,537
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.6.2：负二项 β = 1，3,073.28
参数出险次数的分布负二项分布（方差/均值 = 1 + β）次数分布的参数 1允许的相对误差 k 0.05概率 p 0.95要估计的量出险次数（频率）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full 3,073.28 3,073.28
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.6.3：二项 q = 1/4，1,152.48
参数出险次数的分布二项分布（方差/均值 = 1 − q）次数分布的参数 0.25允许的相对误差 k 0.05概率 p 0.95要估计的量出险次数（频率）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full 1,152.48 1,152.48
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.6.4：每单位 0.20 次，需要 7,683.20 个风险单位
参数每个风险单位的期望出险次数 0.2 次/单位允许的相对误差 k 0.05概率 p 0.95要估计的量出险次数（频率）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
折合风险单位数exposures_full 7,683.2 7,683.2
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.6.5：泊松次数、Pareto α = 3，总损失的标准 6,146.56
参数允许的相对误差 k 0.05概率 p 0.95单次损失的分布两参数 Pareto（CV² = α/(α−2)）单次损失的形状参数 3要估计的量总损失（纯保费）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full 6,146.56 6,146.56
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 6 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.6.6：Pareto α = 3，强度的标准 4,609.92
参数允许的相对误差 k 0.05概率 p 0.95单次损失的分布两参数 Pareto（CV² = α/(α−2)）单次损失的形状参数 3要估计的量平均每案损失（强度）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full 4,609.92 4,609.92
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 7 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.6.7：1,000 件赔案的纯保费，Z = (1000/6147)^{1/2} = 0.40
参数允许的相对误差 k 0.05实际的赔案件数 n 1,000 件概率 p 0.95单次损失的分布两参数 Pareto（CV² = α/(α−2)）单次损失的形状参数 3要估计的量总损失（纯保费）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
信度 Zz 0.4034 0.40335174
说明：书里把标准取整为 6,147，Z 取两位小数 0.40。这里用 6,146.56，Z = 0.40335
允许误差 0.0005
第 8 条
平台算出的数对得上
手算：常用的 1,082 件标准，(1.645/0.05)² = 1,082.41
参数允许的相对误差 k 0.05概率 p 0.9要估计的量出险次数（频率）z 的取值取到小数点后 3 位（考试的正态分布表，例如 1.960、1.645）其余用默认值
项标准答案平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full 1,082.41 1,082.41
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full	1,536.64	1,536.64
完全信度标准（取整）n_full_ceil	1,537	1,537

项	标准答案	平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full	3,073.28	3,073.28

项	标准答案	平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full	1,152.48	1,152.48

项	标准答案	平台算出
折合风险单位数exposures_full	7,683.2	7,683.2

项	标准答案	平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full	6,146.56	6,146.56

项	标准答案	平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full	4,609.92	4,609.92

项	标准答案	平台算出
信度 Zz	0.4034	0.40335174

项	标准答案	平台算出
完全信度标准（总损失（纯保费））n_full	1,082.41	1,082.41

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行827 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.credibility import limited_fluctuation34result = limited_fluctuation.limited_fluctuation(5    target="aggregate",6    p=0.9,7    k=0.05,8    z_rounding="exact",9    freq_dist="poisson",10    freq_param=1,11    sev_dist="lognormal",12    sev_shape=1.2,13    sev_cv=1.5,14    frequency=0.08,15    n_observed=1200,16    observed=520,17    manual=480,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）12.6 Limited Fluctuation Credibility
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 17 章 Limited fluctuation credibility

覆盖的考试公式

CRD-001有限波动（经典）完全信度标准FAMCAS5MAS-IICS1SP8
CRD-002部分信度（平方根法则）与信度加权FAMCAS5MAS-IISP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按 (k, p) 算次数、强度、总损失三种完全信度标准，换算成风险单位数，用平方根法则算部分信度和信度加权的估计。

说明和限制

三个标准都以期望的赔案件数计。换成风险单位数：除以每个单位的期望出险次数。
正态近似：要求观察值落在期望值 ±k 以内的概率至少是 p。
考试和教材常把 z 取到 3 位小数（1.645、1.960）。选“取到小数点后 3 位”可以得到和书上一样的数。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验

05同族的方法

信度理论，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“要有多少件赔案，经验才算完全可信？不够时信度 Z 是多少？”