贝叶斯保费与精确信度（共轭先验）

有了先验和这个风险的观察，后验是什么？下一期的贝叶斯保费是多少，和 Bühlmann 一样吗？

SOA ASTAMCAS MAS-IIIFoA CS1按输入的参数计算

公式

\displaystyle \pi(\theta\mid\mathbf x)\propto f(\mathbf x\mid\theta)\pi(\theta)

\displaystyle \mathrm{E}[X_{n+1}\mid\mathbf x]=\int\mu(\theta)\pi(\theta\mid\mathbf x)d\theta

\displaystyle \lambda\mid\mathbf x\sim\Gamma\Big(\alpha+\sum x_j,\ \frac{\theta}{1+m\theta}\Big),\ q\mid\mathbf x\sim\mathrm{Beta}\Big(a+\sum x_j,\ b+nM-\sum x_j\Big),\ \theta\mid\mathbf x\sim N\Big(\frac{\tau^2n\bar x+\sigma^2\mu_0}{n\tau^2+\sigma^2},\frac{\sigma^2\tau^2}{n\tau^2+\sigma^2}\Big)

对过的标准答案: 7 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 13 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

模型

先验参数：伽马的 α、贝塔的 a、正态的 μ₀

都要大于 0

0100,000 万

先验参数：伽马的尺度 θ、贝塔的 b、正态的 τ²

都要大于 0

0100,000 万

这个风险每期的观察值3 个数

次数、赔款

最小 6最大 11均值 8.333

1–200 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每期的风险单位数3 个数

泊松模型；其他模型填 1

最小 100最大 200均值 150

1–200 个数，每个在 0–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

下一期的风险单位数

0100,000 万

二项模型每期的试验次数 M

11 万

离散先验：每个值的先验概率3 个数

最小 0.2最大 0.5均值 0.3333

1–50 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：泊松 – 伽马

输出

用时 822 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:23 运行

后验参数 1（伽马 α′、贝塔 a′、正态均值）: 31
后验参数 2（伽马尺度 θ′、贝塔 b′、正态方差）: 0.00181818
贝叶斯保费（每单位）: 0.0563636
下一期的贝叶斯保费: 16.9091
总体均值 μ: 0.06
k = EPV/VHM: 100单位
Bühlmann 信度 Z: 0.818182
下一期的 Bühlmann 估计: 16.9091

先验和后验的密度

先验
后验

纵轴：密度

这是共轭的一对：贝叶斯保费等于 Bühlmann 估计（精确信度）。

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

7 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 9.3.3：先验 Gamma(6, 1/100)，3 个月 100、150、200 人，6、8、11 次，后验 Gamma(31, 1/550)，第 4 个月 300 人期望 930/55

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next	16.909091	16.909091
后验参数 1（伽马 α′、贝塔 a′、正态均值）post_a	31	31
后验参数 2（伽马尺度 θ′、贝塔 b′、正态方差）post_b	0.0018181818	0.0018181818

允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 9.3.1：二项 m = 2，先验 4q³ = Beta(4, 1)，两年各 1 次，第 3 年的贝叶斯估计 4/3

参数先验参数：伽马的 α、贝塔的 a、正态的 μ₀ 4先验参数：伽马的尺度 θ、贝塔的 b、正态的 τ² 1二项模型每期的试验次数 M 2每期的风险单位数 2 个数模型二项 – 贝塔下一期的风险单位数 1这个风险每期的观察值 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next	1.3333333	1.3333333
下一期的 Bühlmann 估计buhlmann_next	1.3333333	1.3333333
后验参数 1（伽马 α′、贝塔 a′、正态均值）post_a	6	6
后验参数 2（伽马尺度 θ′、贝塔 b′、正态方差）post_b	3	3

允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 9.2.2：均匀先验，5 次抛硬币 3 次正面，后验 Beta(4, 3)
参数先验参数：伽马的 α、贝塔的 a、正态的 μ₀ 1先验参数：伽马的尺度 θ、贝塔的 b、正态的 τ² 1二项模型每期的试验次数 M 1每期的风险单位数 5 个数模型二项 – 贝塔下一期的风险单位数 1这个风险每期的观察值 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
后验参数 1（伽马 α′、贝塔 a′、正态均值）post_a 4 4
后验参数 2（伽马尺度 θ′、贝塔 b′、正态方差）post_b 3 3
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 9.2.3（改自 SOA Exam C 样题 184）：先验 0.3·Exp(6) + 0.7·Exp(12)，1 年 10 次，后验均值
参数先验参数：伽马的 α、贝塔的 a、正态的 μ₀ 1混合先验：第 2 个伽马的 α 1先验参数：伽马的尺度 θ、贝塔的 b、正态的 τ² 6混合先验：第 2 个伽马的尺度 θ 12每期的风险单位数 1 个数混合先验：第 1 个伽马的权重 0.3模型泊松 – 两个伽马的混合（不共轭）下一期的风险单位数 1这个风险每期的观察值 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next 9.954387 9.9543866
说明：书里写 9.95442，但前后两步的分母不一致（121050 和 118170）。按闭式公式重算是 9.954387，数值积分得到相同的值
允许误差 0.00001
第 5 条
平台算出的数对得上
手算：μ₀ = 100，τ² = 25，σ² = 100，观察 110、120。k = σ²/τ² = 4，Z = 2/6，估计 100 + 15/3 = 105，后验方差 σ²τ²/(nτ²+σ²) = 2500/150
参数先验参数：伽马的 α、贝塔的 a、正态的 μ₀ 100先验参数：伽马的尺度 θ、贝塔的 b、正态的 τ² 25每期的风险单位数 2 个数模型正态 – 正态（σ² 已知）下一期的风险单位数 1这个风险每期的观察值 2 个数正态模型的过程方差 σ² 100其余用默认值
项标准答案平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next 105 105
后验参数 2（伽马尺度 θ′、贝塔 b′、正态方差）post_b 16.666667 16.666667
Bühlmann 信度 Zz 0.33333333 0.33333333
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 6 条
平台算出的数对得上
手算：λ ~ Gamma(α = 3, θ = 0.001)，观察 400、800，E[1/λ | x] = (1/θ + Σx)/(α + n − 1) = 2200/4 = 550
参数先验参数：伽马的 α、贝塔的 a、正态的 μ₀ 3先验参数：伽马的尺度 θ、贝塔的 b、正态的 τ² 0.001每期的风险单位数 2 个数模型指数 – 伽马（λ 是速率）下一期的风险单位数 1这个风险每期的观察值 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next 550 550
下一期的 Bühlmann 估计buhlmann_next 550 550
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 7 条
平台算出的数对得上
手算：λ 取 1、2 各一半，观察到 1 次。后验 P(λ=2) ∝ 2e⁻²，= 2/(e+2)，贝叶斯保费 1 + 2/(e+2) = 1.42388
参数每期的风险单位数 1 个数离散先验：每个值的先验概率 2 个数离散先验：λ 的可能值 2 个数模型泊松 – 离散先验（不共轭）下一期的风险单位数 1这个风险每期的观察值 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next 1.4238831 1.4238831
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
后验参数 1（伽马 α′、贝塔 a′、正态均值）post_a	4	4
后验参数 2（伽马尺度 θ′、贝塔 b′、正态方差）post_b	3	3

项	标准答案	平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next	9.954387	9.9543866

项	标准答案	平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next	105	105
后验参数 2（伽马尺度 θ′、贝塔 b′、正态方差）post_b	16.666667	16.666667
Bühlmann 信度 Zz	0.33333333	0.33333333

项	标准答案	平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next	550	550
下一期的 Bühlmann 估计buhlmann_next	550	550

项	标准答案	平台算出
下一期的贝叶斯保费bayes_next	1.4238831	1.4238831

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行822 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.credibility import bayes_premium34result = bayes_premium.bayes_premium(5    model="poisson_gamma",6    a=6,7    b=0.01,8    obs=[6, 8, 11],9    exposures=[100, 150, 200],10    next_exposure=300,11    binom_m=1,12    sigma2=1,13    mix_w=0.3,14    a2=1,15    b2=12,16    lam_values=[0.5, 1, 2],17    lam_probs=[0.5, 0.3, 0.2],18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）9.2–9.3 Bayesian Statistics；12.3 Bayesian Inference and Bühlmann Credibility
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 18 章 Bayesian credibility

覆盖的考试公式

CRD-003贝叶斯后验与预测ASTAMMAS-IICS1
CRD-004共轭先验（泊松-伽马、正态-正态、伯努利-贝塔、指数-伽马）ASTAMMAS-IICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

泊松-伽马、二项-贝塔、正态-正态、指数-伽马的后验和贝叶斯保费；混合伽马先验和离散先验用数值方法。同时给出 Bühlmann 估计，共轭的情形两者相等。

说明和限制

伽马分布用尺度参数 θ（均值 αθ）。书里写成速率 β 的，θ = 1/β。
泊松模型里观察值是每期的次数合计，风险单位数是每期的单位数，λ 是每单位的次数。
混合先验和离散先验不是共轭的，贝叶斯保费和 Bühlmann 估计一般不相等。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

信度理论，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“有了先验和这个风险的观察，后验是什么？下一期的贝叶斯保费是多少，和 Bühlmann 一样吗？”