Bühlmann / Bühlmann-Straub 信度估计 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

结构参数的来源

各类风险的占比3 个数

最小 0.2最大 0.5均值 0.3333

1–20 个数，每个在 0–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各类风险每期的期望出险次数 λ3 个数 · 次

最小 0.5最大 2均值 1.167

1–20 个数，每个在 0–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

单次损失的分布

各类风险单次损失的尺度参数 θ3 个数 · 元

最小 1,000最大 2,000均值 1,500

1–20 个数，每个在 0–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

这个风险每期的赔款（或出险次数）合计5 个数

最小 600最大 1,500均值 1,000

1–50 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

这个风险每期的风险单位数5 个数

都填 1 就是 Bühlmann 模型

最小 1最大 1均值 1

1–50 个数，每个在 0–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

下一期的风险单位数

0100,000 万

当前选项用不到的 7 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 184 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:25 运行

总体均值 μ: 1,500
过程方差的期望 EPV: 505 万
假设均值的方差 VHM: 175 万
k = EPV/VHM: 2.88571单位
风险单位数合计 m: 5
信度 Z: 0.634058
这个风险的经验均值 X̄: 1,000
信度估计（每单位）: 1,182.97
下一期的期望（× 风险单位数）: 1,182.97

风险单位数和信度 Z

纵轴：信度 Z

各期的经验experience5 行 · 4 列

结果表各期的经验
期	风险单位数	赔款合计	每单位
1	1	800	800
2	1	1,200	1,200
3	1	600	600
4	1	1,500	1,500
5	1	900	900

各风险类型的假设均值和过程方差types3 行 · 5 列

结果表各风险类型的假设均值和过程方差
风险类型	占比	λ	假设均值 μ(θ)	过程方差 σ²(θ)
A	0.5	0.5	500	1,000,000
B	0.3	1	1,500	4,500,000
C	0.2	2	4,000	16,000,000

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.2.5：三类风险，泊松频率和指数强度，5 年共 5,000，K = 2.89，Z = 0.63
参数这个风险每期的赔款（或出险次数）合计 1 个数这个风险每期的风险单位数 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
信度估计（每单位）estimate 1,182.971 1,182.971
k = EPV/VHMk 2.8857143 2.8857143
信度 Zz 0.63405797 0.63405797
说明：书里把 Z 取两位小数 0.63，估计写 1,185.00。不取整时 Z = 0.634058，估计 1,182.97
允许误差 0.0001
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.2.2：三类风险，泊松频率和 Pareto(α = 2) 强度，随机选一个风险的期望年总损失 1,500
参数单次损失的分布两参数 Pareto(α, θ)单次损失的形状参数 α 2其余用默认值
项标准答案平台算出
总体均值 μmu 1,500 1,500
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.2.1：泊松次数，θ 服从密度 e^{−θ} 的指数分布，期望次数 1
参数λ 的先验分布指数（均值 a）先验参数 a 1结构参数的来源泊松次数，λ 有先验分布其余用默认值
项标准答案平台算出
总体均值 μmu 1 1
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.2.3：λ 在 (0, 2) 上均匀分布，EPV = 1，VHM = 1/3
参数λ 的先验分布均匀分布 U(a, b)先验参数 a 0先验参数 b 2结构参数的来源泊松次数，λ 有先验分布其余用默认值
项标准答案平台算出
过程方差的期望 EPVepv 1 1
假设均值的方差 VHMvhm 0.33333333 0.33333333
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.4.2：车队 3 年 9、12、15 辆车，5、4、4 次，λ 的密度 6λ(1−λ)，第 4 年 18 辆车，期望 162/23 = 7.04 次
参数这个风险每期的赔款（或出险次数）合计 3 个数这个风险每期的风险单位数 3 个数下一期的风险单位数 18λ 的先验分布贝塔 Beta(a, b)先验参数 a 2先验参数 b 2结构参数的来源泊松次数，λ 有先验分布其余用默认值
项标准答案平台算出
信度估计（每单位）estimate 0.39130435 0.39130435
k = EPV/VHMk 10 10
下一期的期望（× 风险单位数）next_period 7.0434783 7.0434783
信度 Zz 0.7826087 0.7826087
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
信度估计（每单位）estimate	1,182.971	1,182.971
k = EPV/VHMk	2.8857143	2.8857143
信度 Zz	0.63405797	0.63405797

项	标准答案	平台算出
总体均值 μmu	1,500	1,500

项	标准答案	平台算出
总体均值 μmu	1	1

项	标准答案	平台算出
过程方差的期望 EPVepv	1	1
假设均值的方差 VHMvhm	0.33333333	0.33333333

项	标准答案	平台算出
信度估计（每单位）estimate	0.39130435	0.39130435
k = EPV/VHMk	10	10
下一期的期望（× 风险单位数）next_period	7.0434783	7.0434783
信度 Zz	0.7826087	0.7826087

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：15 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 21 行184 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.credibility import buhlmann34result = buhlmann.buhlmann(5    structure="types",6    weights=[0.5, 0.3, 0.2],7    lam=[0.5, 1, 2],8    sev="exponential",9    sev_theta=[1000, 1500, 2000],10    sev_alpha=2,11    prior="gamma",12    prior_a=2,13    prior_b=0.5,14    mu=1,15    epv=1,16    vhm=0.25,17    claims=[800, 1200, 600, 1500, 900],18    exposures=[1, 1, 1, 1, 1],19    next_exposure=1,20)21print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）12.2 Bühlmann Credibility；12.4 Bühlmann-Straub Credibility
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 17 章 Greatest accuracy credibility

覆盖的考试公式

CRD-005Bühlmann 信度ASTAMMAS-IICS1SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

由风险类型、先验或直接给的结构参数算 μ、EPV、VHM、k = EPV/VHM、Z = m/(m+k)，再算这个风险下一期的信度保费。

说明和限制

复合泊松的过程方差是 λ·E[X²]。Pareto 的 α ≤ 2 时 E[X²] 不存在，EPV 是无穷大，Z = 0。
Bühlmann-Straub：每期的经验按风险单位数加权，Z = m/(m+k)，m 是风险单位数的合计。EPV 和 VHM 都按一个风险单位计。
泊松次数配伽马先验时，Bühlmann 估计等于贝叶斯后验均值（精确信度），见 credibility.bayes_premium。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

05同族的方法

信度理论，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一个风险自己的几年经验和总体均值，各占多少权重？”