经验贝叶斯信度：从数据估 EPV、VHM · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每个风险每期的赔款（或出险次数）合计，按风险一行接一行排20 个数

最小 1最大 7均值 3.4

2–400 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

对应的风险单位数20 个数

0 表示这一期没有数据；都填 1 就是 Bühlmann 模型

最小 5最大 40均值 18.9

2–400 个数，每个在 0–10 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个风险的期数

每行几个数，至少 2 期

250

估计方法

补充项

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的经验数据计算

输出

用时 164 毫秒 · 11/14 22:22 运行

风险个数 r: 4
总的加权平均 X̄: 0.179894
EPV 的估计 v̂: 0.0812459
VHM 的估计 â: 0.00258542
k = v̂/â: 31.4246单位
第 1 个风险的 Z: 0.670686
补充项 μ̂: 0.179894
信度保费的加权平均: 0.175068

每个风险：经验均值和信度保费

经验均值
信度保费

纵轴：每单位

各风险的信度和信度保费risks4 行 · 7 列

结果表各风险的信度和信度保费
风险	期数 n_i	风险单位 m_i	经验均值 X̄_i	信度 Z_i	信度保费（每单位）	相对总平均
风险 1	5	64	0.203125	0.670686	0.195475	1.08661
风险 2	5	167	0.149701	0.841629	0.154482	0.85874
风险 3	5	30	0.333333	0.488403	0.254834	1.41658
风险 4	5	117	0.17094	0.788279	0.172836	0.960764

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 12.5.1：两个风险 3 年 (0,1,0) 和 (2,1,2)，EPV = 1/3，VHM = 7/9，Z = 7/8，估计 5/12 和 19/12

参数对应的风险单位数 6 个数每个风险每期的赔款（或出险次数）合计，按风险一行接一行排 6 个数每个风险的期数 3其余用默认值

项	标准答案	平台算出
EPV 的估计 v̂epv	0.33333333	0.33333333
VHM 的估计 âvhm	0.77777778	0.77777778
第 1 个风险的 Zz_first	0.875	0.875
信度保费（每单位）表 risks · 第 1 行	0.41666667	0.41666667
信度保费（每单位）表 risks · 第 2 行	1.5833333	1.5833333

允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 12.5.2：VHM 的估计是 −1/2，取 Z = 0
参数对应的风险单位数 6 个数每个风险每期的赔款（或出险次数）合计，按风险一行接一行排 6 个数每个风险的期数 3其余用默认值
项标准答案平台算出
VHM 的估计 âvhm -0.5 -0.5
第 1 个风险的 Zz_first 0 0
允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
VHM 的估计 âvhm	-0.5	-0.5
第 1 个风险的 Zz_first	0	0

第 3 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 12.5.3：不等风险单位，EPV = 0.3667，VHM = 0.1757，K = 2.0871，估计 0.9139 和 0.3882

参数对应的风险单位数 8 个数每个风险每期的赔款（或出险次数）合计，按风险一行接一行排 8 个数每个风险的期数 4其余用默认值

项	标准答案	平台算出
EPV 的估计 v̂epv	0.36666667	0.36666667
k = v̂/âk	2.0871	2.0873494
VHM 的估计 âvhm	0.1757	0.17566138
信度保费（每单位）表 risks · 第 1 行	0.9139	0.91386311
信度 Z_i表 risks · 第 1 行	0.7703	0.77030162
信度保费（每单位）表 risks · 第 2 行	0.3882	0.38824368

说明：书里的中间结果取 4 位小数（K 用取整后的 0.3667/0.1757 算出 2.0871，不取整是 2.08735），误差放到 0.0005

允许误差 0.0005

第 4 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 12.5.4：泊松假设，EPV = 1，VHM = 5/9，估计 7/12 和 17/12

参数估计方法半参数（假设泊松，EPV = 均值）对应的风险单位数 6 个数每个风险每期的赔款（或出险次数）合计，按风险一行接一行排 6 个数每个风险的期数 3其余用默认值

项	标准答案	平台算出
EPV 的估计 v̂epv	1	1
VHM 的估计 âvhm	0.55555556	0.55555556
信度保费（每单位）表 risks · 第 1 行	0.58333333	0.58333333
信度保费（每单位）表 risks · 第 2 行	1.4166667	1.4166667

允许误差 1×10⁻⁸ + 1×10⁻⁹×|答案|

第 5 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 12.7.1：平衡后的补充项 0.6579，新的估计 0.9214 和 0.3944，加权平均 0.6250 = X̄

参数补充项平衡：补充项用 Σ Z_i X̄_i / Σ Z_i对应的风险单位数 8 个数每个风险每期的赔款（或出险次数）合计，按风险一行接一行排 8 个数每个风险的期数 4其余用默认值

项	标准答案	平台算出
信度保费的加权平均balanced_total	0.625	0.625
补充项 μ̂complement	0.6579	0.65793651
信度保费（每单位）表 risks · 第 1 行	0.9214	0.92142857
信度保费（每单位）表 risks · 第 2 行	0.3944	0.39444444

允许误差 0.0002

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行164 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.credibility import empirical_bayes34result = empirical_bayes.empirical_bayes(5    losses=[2, 3, 1, 4, 3, 4, 6, 5, 3, 7, 2, 1, 3, 2, 2, 5, 2, 4, 6, 3],6    exposures=[10, 12, 12, 15, 15, 30, 30, 32, 35, 40, 5, 5, 6, 6, 8, 20, 22, 25, 25, 25],7    n_years=5,8    estimator="nonparametric",9    balance="no",10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）12.5 Estimating Credibility Parameters；12.7 Balancing Credibility Estimators
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 19 章 Empirical Bayes parameter estimation

覆盖的考试公式

CRD-006非参数经验贝叶斯（Bühlmann-Straub，含不等样本量）ASTAMMAS-IICS1SP8
CRD-007等样本量非参数经验贝叶斯ASTAMMAS-IICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

输入风险 × 年的赔款（或次数）和风险单位数，用非参数或半参数（泊松）方法估 μ、EPV、VHM、k，算每个风险的 Z 和信度保费，可以平衡补充项。

说明和限制

X_ij 是每单位的损失 = 合计 ÷ 风险单位数。风险单位数是 0 的期不参加计算，期数 n_i 只数有数据的期。
VHM 的估计可能是负数。这时 Z = 0，每个风险都用补充项。
风险单位都是 1、每个风险期数相同时，公式化为等样本量的 Bühlmann 估计：v̂ = 风险内样本方差的平均，â = 风险均值的样本方差 − v̂/n。

数据

按输入的经验数据计算（默认是 4 个车队 5 年的示意数据）

开源库和版本

05同族的方法

信度理论，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“手上有几个风险几年的经验，结构参数怎么从数据里估，每个风险的信度保费是多少？”