确定给付养老金：精算负债和正常成本（PUC、TUC）

一名在职员工的确定给付养老金，按预期单位法和传统单位法，现在的精算负债是多少？今年要缴多少正常成本？

SOA ALTAM

公式

\displaystyle B=n\,\alpha\,S^F

\displaystyle AL^{PUC}=\sum_{e}n_x\,\alpha\,S^F_{e}(1-RF_e)\,\ddot a_{e}\,v^{e-x}\frac{r_{e}}{l_x}

\displaystyle AL^{TUC}=\sum_{e}n_x\,\alpha\,S^F_x(1-RF_e)\,\ddot a_{e}\,v^{e-x}\frac{r_{e}}{l_x}

\displaystyle C=v\,p_x^{00}\,{}_1V-{}_0V+\mathrm{EPV}(\text{年内离开的给付})

\displaystyle C^{PUC}={}_0V\frac1n

\displaystyle C^{TUC}={}_0V\Big(\frac{S_{x+1}}{S_x}\frac{n+1}{n}-1\Big)

对过的标准答案: 1 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 14 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

现在的年龄 x岁

25 岁69 岁

入职年龄岁

18 岁64 岁

过去一年的工资元

1,000 元1,000 万元

工资每年增长 g

00.1

正常退休年龄岁

55 岁70 岁

累积率 α

每服务 1 年，最终平均工资的百分比

0.0010.03

最终平均工资取最后几年年

1 年10 年

离职率%

每年，提前退休年龄之前

0%30%

其余 6 个参数

离职时的给付

最早可以提前退休的年龄岁

等于正常退休年龄时不能提前

50 岁70 岁

提前退休率%

每年

0%50%

提前退休每提前 1 年扣减

00.1

死亡率

利率 i%

0%12%

真实数据

死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套养老类业务表（男）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 461 毫秒 · 11/14 22:25 运行

精算负债（PUC）: 42.52 万元
精算负债（TUC）: 24.61 万元
正常成本（PUC）: 2.81 万元
正常成本（TUC）: 2.65 万元
在职到正常退休的概率: 37.93%
预测的替代率（正常退休时）: 0.31747

服务表：年初还在职的概率

纵轴：概率

过去服务 15 年；正常退休时总服务 33 年，预测的最终平均工资 389,780 元，退休前一年的工资 405,163 元。
63 岁的年金因子 ä = 16.3819（第四套养老类业务表（男），利率 0.035）。
工资增长、离职率、提前退休率是输入的假设，不是任何计划的经验。

各离开方式的精算负债liability4 行 · 3 列

结果表各离开方式的精算负债
离开的方式	PUC 负债	TUC 负债
提前退休	127,760.51	70,108.66
离职（保留的养老金）	101,891.21	79,433.45
正常退休	195,585.49	96,546.5
合计	425,237.22	246,088.61

正常成本normal_cost5 行 · 3 列

结果表正常成本
项目	PUC	TUC
精算负债 0V	425,237.22	246,088.61
一年后的负债 1V（服务 n+1 年）	476,087.77	282,997.26
正常成本 C（一般公式）	28,101.4	26,500.94
简便式（0V/n；TUC 的工资比例式）	28,349.15	26,905.69
正常成本占今年工资	0.135103	0.127408

各年龄的在职概率和减因service19 行 · 6 列

结果表各年龄的在职概率和减因
年龄	年初在职的概率	死亡 q^(d)	离职 q^(w)	提前退休 q^(r)	年中离开时的最终平均工资（预测）
45	1	0.00117018	0.0299822	0	196,216.71
46	0.968848	0.00125785	0.0299808	0	204,065.38
47	0.938582	0.00135044	0.0299794	0	212,227.99
48	0.909176	0.00144894	0.0299779	0	220,717.11
49	0.880604	0.0015563	0.0299763	0	229,545.79
50	0.852836	0.00167253	0.0299745	0	238,727.63
51	0.825846	0.00180354	0.0299725	0	248,276.73
52	0.799604	0.0019503	0.0299703	0	258,207.8
53	0.77408	0.00211874	0.0299677	0	268,536.11
54	0.749243	0.0023118	0.0299648	0	279,277.56
55	0.72506	0.00253145	0.0299615	0	290,448.66
56	0.701501	0.00278164	0.0299576	0	302,066.61
57	0.678534	0.00306434	0.0299533	0	314,149.27
58	0.65613	0.0032623	0	0.0998283	326,715.24
59	0.588489	0.0036043	0	0.0998103	339,783.85
60	0.527631	0.0039843	0	0.0997903	353,375.21
61	0.472876	0.00440325	0	0.0997683	367,510.21
62	0.423616	0.0048602	0	0.0997442	382,210.62
63	0.379304	—	—	1	389,779.88

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT），i = 5%：64 岁、服务 30 年、到 65 岁全部退休。AL^PUC = 0.01 × 30 × 103000 × v·p64·ä65，AL^TUC 用 100000；NC^PUC = v·p64·ä65 × 0.01 × 103000，NC^TUC = v·p64·ä65 × 0.01 × (31 × 103000 − 30 × 100000)，ä65 按年求和

参数累积率 α 0.01现在的年龄 x 64 岁最早可以提前退休的年龄 65 岁提前退休率 0%入职年龄 34 岁最终平均工资取最后几年 1 年利率 i 5%死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）正常退休年龄 65 岁提前退休每提前 1 年扣减 0过去一年的工资 10 万元工资每年增长 g 0.03离职率 0%其余用默认值

项	标准答案	平台算出
精算负债（PUC）al_puc	396,642.37	396,642.37
精算负债（TUC）al_tuc	385,089.68	385,089.68
正常成本（PUC）nc_puc	13,221.412	13,221.412
正常成本（TUC）nc_tuc	24,774.102	24,774.102

允许误差 0.00001

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行461 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.pension import db_valuation34result = db_valuation.db_valuation(5    age=45,6    entry_age=30,7    salary=200000,8    salary_growth=0.04,9    nra=63,10    accrual=0.01,11    fas_years=3,12    withdrawal=0.03,13    withdrawal_benefit="deferred",14    early_age=58,15    early_rate=0.1,16    reduction=0.04,17    mortality="2025-CL1-M",18    interest=0.035,19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 10 章 Pension mathematics：10.4 服务表、10.5–10.7 估值、10.8 精算成本法

覆盖的考试公式

PEN-003确定给付计划年给付与精算现值ALTAM
PEN-004精算负债：PUC 与 TUC 方法ALTAM
PEN-005正常成本（normal contribution）ALTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

服务表有死亡、离职、提前退休 3 个减因；退休金 = 累积率 × 服务年数 × 最终平均工资（提前退休按年数扣减）。按 PUC（预测工资）和 TUC（当前工资）算已累积给付的精算负债，再按“一年后的负债现值 − 现在的负债 + 年内离开的给付”算正常成本。

说明和限制

服务表：死亡率用选定的生命表，离职率和提前退休率是输入的假设；3 个减因按单减因表 UDD 合成，离开都在年中。到正常退休年龄还在职的人全部退休。
退休金按年初付的终身年金估值，不含遗属给付和指数化。离职保留的养老金到正常退休年龄开始领，期间不调整。
在职期间死亡没有给付。
正常成本按一般公式算：一年后（服务 n+1 年）的负债乘 v·p，减去现在的负债，加上第一年离开的人按 n+½ 年服务的给付。简便式 0V/n（PUC）和 0V(S_{x+1}/S_x·(n+1)/n − 1)（TUC，S 取到估值日为止的最终平均工资）只在第一年没有带给付的离开时才和一般公式相等。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

养老金，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一名在职员工的确定给付养老金，按预期单位法和传统单位法，现在的精算负债是多少？今年要缴多少正常成本？”