联合保单的保费和准备金 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

险种

保费什么时候缴

x 的年龄岁

0 岁100 岁

y 的年龄岁

0 岁100 岁

x 的死亡率

y 的死亡率

保额 S元

1,000 元10,000 万元

利率 i%

0%15%

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套非养老类业务一表（男）；死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套非养老类业务一表（女）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 476 毫秒 · 11/14 22:21 运行

年缴保费: 1.28 万元
趸缴保费（给付的精算现值）: 26.49 万元
缴费的年金因子: 20.6878
第 10 年末准备金：两人都活着: 13.84 万元
第 10 年末准备金：只有 x 活着: 47.54 万元

每个状态的准备金

两人都活着
只有 x 活着
只有 y 活着

纵轴：元

最后生存终身寿险（第二个人死亡时给付），两人都活着时缴。
终身险算到两人都几乎不可能还活着为止（66 年）；表里只列前 66 年。

各状态的准备金reserves67 行 · 6 列

结果表各状态的准备金
第 t 年末	x 的年龄	y 的年龄	两人都活着	只有 x 活着	只有 y 活着
0	45	42	-1.95×10⁻¹⁰	368,238.69	294,088.67
1	46	43	12,429.05	378,083.69	302,534.01
2	47	44	25,162.02	388,123.52	311,195.36
3	48	45	38,203.28	398,358.18	320,076.36
4	49	46	51,556.94	408,788.33	329,179.56
5	50	47	65,227.16	419,413.56	338,508.55
6	51	48	79,218.03	430,233.68	348,066.64
7	52	49	93,532.55	441,246.52	357,856.86
8	53	50	108,172.83	452,447.56	367,882.7
9	54	51	123,139.57	463,829.66	378,147.46
10	55	52	138,432.68	475,384.31	388,654.34
11	56	53	154,051.69	487,102.38	399,406.48
12	57	54	169,996.54	498,975.85	410,407
13	58	55	186,267.74	510,999.38	421,657.95
14	59	56	202,866.55	523,169.89	433,160.97
15	60	57	219,795.62	535,488.45	444,916.86
16	61	58	237,058.79	547,958.47	456,926.77
17	62	59	254,659.51	560,583.53	469,191.31
18	63	60	272,600.56	573,366.79	481,710.62
19	64	61	290,882.76	586,307.59	494,485.15
20	65	62	309,504.06	599,401.3	507,514.25
21	66	63	328,458.61	612,637.37	520,796.51
22	67	64	347,735.88	625,999.65	534,328.14
23	68	65	367,319.61	639,465.73	548,102.11
24	69	66	387,188.66	653,008.66	562,108.31
25	70	67	407,315.4	666,595.98	576,332.1
26	71	68	427,666.31	680,191.62	590,754.07
27	72	69	448,201.19	693,755.87	605,349.09
28	73	70	468,872.8	707,245.89	620,085.77
29	74	71	489,627.64	720,616.5	634,927.37
30	75	72	510,404.44	733,819.15	649,830.58
31	76	73	531,135.42	746,802.95	664,746.95
32	77	74	551,745.49	759,513.76	679,622.59
33	78	75	572,153.84	771,894.84	694,400.15
34	79	76	592,274.02	783,885.71	709,019.72
35	80	77	612,014.25	795,421.55	723,419.5
36	81	78	631,279.1	806,432.06	737,538.52
37	82	79	649,925.55	816,759.98	751,317.14
38	83	80	668,051.52	826,674.68	764,697.75
39	84	81	685,597.82	836,161.42	777,625.84
40	85	82	702,546.4	845,208.64	790,102.94
41	86	83	718,906.5	853,807.6	802,167.75
42	87	84	734,639.2	861,953.1	813,787.66
43	88	85	749,710.43	869,643.21	824,933.52
44	89	86	764,091.16	876,879.13	835,579.69
45	90	87	777,758.72	883,665.65	845,705
46	91	88	790,696.97	890,010.87	855,292.96
47	92	89	802,896.95	895,926.2	864,332.16
48	93	90	814,357.54	901,426.69	872,816.49
49	94	91	825,086.24	906,531.5	880,745.23
50	95	92	835,100.65	911,264.85	888,123.53
51	96	93	844,430.22	915,657.63	894,962.26
52	97	94	853,120.57	919,751.31	901,278.67
53	98	95	861,240.32	923,604.48	907,096.95
54	99	96	868,894.52	927,306	912,449.8
55	100	97	876,248.85	930,999.82	917,381.46
56	101	98	883,574.04	934,933.59	921,953.92
57	102	99	891,323.68	939,555.47	926,258.87
58	103	100	900,257.83	945,710.73	930,441.14
59	104	101	911,580.99	955,047.51	934,745.79
60	105	102	926,809.56	970,873.79	939,613.43
61	106	103	933,073.46	970,873.79	945,877.33
62	107	104	942,376.46	970,873.79	955,180.33
63	108	105	958,069.92	970,873.79	970,873.79
64	109	106	958,069.92	970,873.79	970,873.79
65	110	107	958,069.92	970,873.79	970,873.79
66	111	108	0	0	0

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT），i = 5%，保额 1000：P = 1000(A60 + A65 − A60:65)/ä60:65（按年求和，Makeham 闭式的 kpx）；y 已死时 10V = 1000·A70，按公式手算
参数利率 i 5%保费什么时候缴两人都活着时缴险种最后生存终身寿险（第二个人死亡时给付）保额 S 1,000 元x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）x 的年龄 60 岁y 的年龄 65 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
年缴保费premium 18.933795 18.933795
只有 x 活着表 reserves · 第 11 行 428.17603 428.17603
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：1 年联合定期寿险的趸缴保费 = 1000 × (1 − p0²)/1.05，p0 = exp(−A − B(c − 1)/ln c)（SULT）
参数利率 i 5%险种联合定期寿险保额 S 1,000 元x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）定期险的保险期间 n 1 年x 的年龄 0 岁y 的年龄 0 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
趸缴保费（给付的精算现值）single_premium 0.42440853 0.42440853
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	平台算出
年缴保费premium	18.933795	18.933795
只有 x 活着表 reserves · 第 11 行	428.17603	428.17603

项	标准答案	平台算出
趸缴保费（给付的精算现值）single_premium	0.42440853	0.42440853

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行476 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multiple_lives import joint_premium_reserve34result = joint_premium_reserve.joint_premium_reserve(5    product="last_whole",6    pays="both",7    x=45,8    y=42,9    table_x="2025-CL2-M",10    table_y="2025-CL2-F",11    term=30,12    sum_insured=1000000,13    interest=0.03,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 9 章 9.3 联合生存的多状态模型、例题中的第二死亡保单准备金

覆盖的考试公式

JNT-003联合生命保险与年金关系ALTAMCM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

两个相互独立的人，按年的 3 状态模型（两人都活着、只有 x 活着、只有 y 活着）：死亡那年年末给付，保费年初缴；按等价原理算年缴保费，逐年递推每个状态的准备金。

说明和限制

两个人的寿命相互独立；死亡给付在死亡那年的年末，保费在年初缴。
联合寿险在第一个人死亡时给付，保单随即终止，只有“两人都活着”这一个状态有准备金。
纯保费和纯保费准备金，不含费用。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多生命，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“夫妻一起投保的第二死亡（或第一死亡）寿险，年缴保费是多少？一方去世后，准备金会怎么变？”