或有保险和继承年金

丈夫比妻子先死的概率是多少？只在丈夫先死时给付的保险值多少？丈夫死后给妻子的年金（继承年金）要多少钱、每年交多少保费？

SOA ALTAMIFoA CM1

公式

\displaystyle {}_nq^{\,1}_{xy}=\int_0^n{}_tp_{xy}\,\mu_{x+t}\,dt

\displaystyle {}_nq^{\,2}_{xy}={}_nq_x-{}_nq^{\,1}_{xy}

\displaystyle \bar A^{\,1}_{xy}=\int_0^\infty v^t{}_tp_{xy}\mu_{x+t}\,dt

\displaystyle \bar A^{\,2}_{xy}=\bar A_x-\bar A^{\,1}_{xy}

\displaystyle \bar A^{\,1}_{xx}=\tfrac12\bar A_{xx}

\displaystyle \bar a_{x|y}=\bar a_y-\bar a_{xy}=\frac{\bar A_{xy}-\bar A_y}{\delta}

\displaystyle a_{x|y}=a_y-a_{xy}

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 7 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

x 的年龄岁

先死时给付的人

0 岁100 岁

y 的年龄岁

领继承年金的人

0 岁100 岁

x 的死亡率

y 的死亡率

利率 i%

0%15%

或有概率的期限 n年

1 年80 年

继承年金每年给付元/年

0 元/年1,000 万元/年

真实数据

死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套养老类业务表（男）；死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套养老类业务表（女）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 369 毫秒 · 11/14 22:22 运行

20 年内 x 先死的概率: 24.82%
x 先死的概率（终身）: 70.86%
继承年金的精算现值（每年 1 元，连续）ā_x|y: 4.14869
继承年金的精算现值（每年末给付）: 9.957 万元
继承年金的年缴保费（两人都活着时年初缴）: 6,012.9元

t 年内谁先死：累积概率

x 先死
y 先死

纵轴：概率

继承年金的两种算法：ā_y − ā_xy = 4.14869068，(Ā_xy − Ā_y)/δ = 4.14869068。

或有保险的精算现值insurance6 行 · 2 列

结果表或有保险的精算现值
保险（每元）	精算现值
Ā¹_xy：x 先死时给付 1 元（连续）	0.37721
Ā²_xy：x 第二个死时给付 1 元（连续）	0.114724
A¹_xy：x 先死，死亡那年年末给付	0.371571
A¹_xy 的近似 (1+i)^(−1/2)·Ā¹_xy	0.371676
Ā_x：x 死亡时给付 1 元	0.491934
Ā_xy：第一个人死亡时给付 1 元	0.525574

或有概率probabilities5 行 · 2 列

结果表或有概率
概率	值
20 年内 x 死亡，且 y 还活着（x 先死）ₙq¹_xy	0.248217
20 年内 x 死亡，且 y 已经死了（x 第二个死）ₙq²_xy	0.0115165
20 年内 y 先死 ₙq_xy^1（y 先）	0.0828222
20 年内 x 死亡 ₙq_x	0.259734
x 先死的概率（终身）∞q¹_xy	0.708612

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02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Gompertz 的闭式解（手算）：∞q¹_xy = c^x/(c^x + c^y) = 1/(1 + 1.124^10)，c = 1.124
参数利率 i 5%x 的死亡率 Gompertz（SULT 去掉常数项：B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 Gompertz（SULT 去掉常数项：B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）或有概率的期限 n 80 年x 的年龄 60 岁y 的年龄 70 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
x 先死的概率（终身）q1_inf 0.23704709 0.23704709
允许误差 1×10⁻⁹
第 2 条
平台算出的数对得上
Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT）：同龄时 Ā¹_xx = ½Ā_xx = ½(1 − δā_60:60)，ā_60:60 用 scipy.integrate.quad 独立积分
参数利率 i 5%x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）x 的年龄 60 岁y 的年龄 60 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值表 insurance · 第 1 行 0.18908272 0.18908272
允许误差 2×10⁻⁷

项	标准答案	平台算出
x 先死的概率（终身）q1_inf	0.23704709	0.23704709

项	标准答案	平台算出
精算现值表 insurance · 第 1 行	0.18908272	0.18908272

第 3 条

平台算出的数对得上

Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT），i = 5%：∫ tp60·tp65·μ60+t dt 等用 scipy.integrate.quad（Makeham 闭式）独立积分

参数继承年金每年给付 1 元/年利率 i 5%x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）或有概率的期限 n 10 年x 的年龄 60 岁y 的年龄 65 岁

项	标准答案	平台算出
20 年内 x 先死的概率q1_n	0.054590395	0.054590395
继承年金的精算现值（每年 1 元，连续）ā_x\|yrev_cont	1.1762465	1.1762465
精算现值表 insurance · 第 1 行	0.15138751	0.15138751

允许误差 2×10⁻⁷

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行369 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multiple_lives import contingent34result = contingent.contingent(5    x=62,6    y=58,7    table_x="2025-CL1-M",8    table_y="2025-CL1-F",9    interest=0.03,10    term=20,11    annuity=24000,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 9 章 9.4 Contingent probabilities and insurances、9.5 Reversionary annuities

覆盖的考试公式

JNT-002或有死亡概率ALTAMCM1
JNT-006继承年金（反转年金）ALTAMCM1
JNT-007或有保险ALTAMCM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

两个相互独立的人：n 年内 x 先死（第一个死）、x 第二个死的概率；x 先死时给付的或有保险、x 第二个死时给付的保险；x 死后给 y 的继承年金，和它在两人都活着时缴的年缴保费。

说明和限制

两个人的寿命相互独立。或有的量用网格积分（Simpson 公式），μ 在一岁之内用这一年的死亡力。
整年的或有保险（死亡那年年末给付）按每年的积分乘 v^(k+1) 精确地算，也给出常用的近似 (1+i)^(−1/2)·Ā¹。
继承年金：x 死后、y 还活着时每年年末给付（期末付）；保费在两人都活着时年初缴纳。
Gompertz 死亡率（μ = B·c^x）下 ∞q¹_xy = c^x/(c^x + c^y)，可以用来核对。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多生命，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“丈夫比妻子先死的概率是多少？只在丈夫先死时给付的保险值多少？丈夫死后给妻子的年金（继承年金）要多少钱、每年交多少保费？”