联合生存和最后生存：概率、保险和年金

一对夫妻，两人都活着、至少一人活着的概率是多少？第一个人、第二个人死亡时给付的保险和年金的精算现值是多少？

SOA ALTAMIFoA CM1

公式

\displaystyle {}_tp_{xy}={}_tp_x\,{}_tp_y

\displaystyle {}_tp_{\overline{xy}}={}_tp_x+{}_tp_y-{}_tp_{xy}

\displaystyle \bar a_{\overline{xy}}=\bar a_x+\bar a_y-\bar a_{xy}

\displaystyle \bar A_{xy}=1-\delta\,\bar a_{xy}

\displaystyle A_{xy}=1-d\,\ddot a_{xy}

\displaystyle \mathrm{Var}(\bar Z_{\overline{xy}})={}^2\!\bar A_{\overline{xy}}-\bar A_{\overline{xy}}^2

\displaystyle \mathrm{Cov}\big(v^{T_{xy}},v^{T_{\overline{xy}}}\big)=(\bar A_x-\bar A_{xy})(\bar A_y-\bar A_{xy})

\displaystyle a^{(m)}_{xy:\overline n|}\approx a_{xy:\overline n|}+\frac{m-1}{2m}\Big(1-v^n\,{}_np_{xy}\Big)

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 5 个
参数: 7 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

第一个人的年龄 x岁

0 岁100 岁

第二个人的年龄 y岁

0 岁100 岁

x 的死亡率

y 的死亡率

利率 i%

0%15%

定期的年数 n年

1 年60 年

年金每年给付几次

每半年 1 次每季度 1 次每月 1 次

真实数据

死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套养老类业务表（男）；死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套养老类业务表（女）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 429 毫秒 · 11/14 22:23 运行

联合生存年金 ā_xy: 16.7618
最后生存年金 ā_x̄ȳ: 21.8006
第二个人死亡时给付 1 元的现值 Ā_x̄ȳ: 0.3556
两人都活着的平均年数 e̊_xy: 24.3755年
至少一人活着的平均年数 e̊_x̄ȳ: 35.6186年
Var(v^T)，第二死亡: 0.00531493
Cov(v^T_xy, v^T_x̄ȳ): 0.00409501

t 年后的生存概率

x（60 岁）
y（57 岁）
联合生存 xy
最后生存 x̄ȳ

纵轴：概率

协方差两种算法：(Ā_x − Ā_xy)(Ā_y − Ā_xy) = 0.00409501，Ā_x·Ā_y − Ā_xy·Ā_x̄ȳ = 0.00409501。年金现值的协方差 = 它除以 δ²。
m 次给付的近似只保留第 1 项修正（UDD 下常用的近似）。

整年给付的精算现值annual5 行 · 5 列

结果表整年给付的精算现值
整年	x（60 岁）	y（57 岁）	联合生存 xy	最后生存 x̄ȳ
期初付终身年金 ä	18.5006	21.0778	17.2699	22.3085
终身寿险 A（年末给付）	0.461147	0.386084	0.496994	0.350237
整年余命 e（年）	26.5903	32.432	23.8863	35.1359
20 年后的生存概率 np	0.7877	0.915241	0.720936	0.982006
20 年期初付年金 ä_n	—	—	14.0733	15.2861

连续给付的精算现值continuous7 行 · 5 列

结果表连续给付的精算现值
连续	x（60 岁）	y（57 岁）	联合生存 xy	最后生存 x̄ȳ
终身年金 ā（连续）	17.9927	20.5698	16.7618	21.8006
终身寿险 Ā（死亡时给付）	0.468159	0.391982	0.50454	0.3556
²Ā（2δ）	0.239939	0.167163	0.275335	0.131767
现值的方差 Var(Z)	0.0207661	0.0135137	0.0207748	0.00531493
20 年定期年金 ā_n	14.0857	14.7419	13.7706	15.057
20 年定期寿险 Ā¹_n	0.147512	0.0575013	0.193792	0.0112215
完全余命 e̊（年）	27.0777	32.9163	24.3755	35.6186

每年 12 次的年金：精确值和近似mthly2 行 · 5 列

结果表每年 12 次的年金：精确值和近似
状态	20 年期末年金 a	每年 12 次（精确）	近似	近似的误差
联合生存 xy	13.4725	13.7456	13.7479	0.00225924
最后生存 x̄ȳ	14.8299	15.038	15.039	0.00102981

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT），i = 5%：Makeham 闭式的 tpx 相乘，用 scipy.integrate.quad（误差 1e-12）独立积分

参数利率 i 5%x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）定期的年数 n 10 年第一个人的年龄 x 60 岁第二个人的年龄 y 65 岁其余用默认值

项	标准答案	平台算出
两人都活着的平均年数 e̊_xye_xy	19.459009	19.459009
最后生存 x̄ȳ表 continuous · 第 1 行	15.575987	15.575987
联合生存 xy表 continuous · 第 1 行	11.869011	11.869011
最后生存 x̄ȳ表 continuous · 第 2 行	0.24004505	0.24004505
联合生存 xy表 continuous · 第 2 行	0.42090901	0.42090901

允许误差 2×10⁻⁷

第 2 条
平台算出的数对得上
Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT），i = 5%：ä_xy = Σ v^k·kp60·kp65（Makeham 闭式），A_xy = 1 − d·ä_xy，按公式手算
参数利率 i 5%x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）定期的年数 n 10 年第一个人的年龄 x 60 岁第二个人的年龄 y 65 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
联合生存 xy表 annual · 第 1 行 12.373812 12.373812
联合生存 xy表 annual · 第 2 行 0.41077086 0.41077086
允许误差 1×10⁻⁸
第 3 条
平台算出的数对得上
Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT），i = 5%：Makeham 闭式的 tpx 相乘，用 scipy.integrate.quad（误差 1e-12）独立积分：²Ā 用 2δ 积分，Cov = (Ā60 − Ā60:65)(Ā65 − Ā60:65)
参数利率 i 5%x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）定期的年数 n 10 年第一个人的年龄 x 60 岁第二个人的年龄 y 65 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
Cov(v^T_xy, v^T_x̄ȳ)cov 0.0070861216 0.0070861216
Var(v^T)，第二死亡var_last 0.0082838614 0.0082838614
允许误差 2×10⁻⁷
第 4 条
平台算出的数对得上
Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT）：a^(12)_{60:65:10} = (1/12)Σ v^(k/12)·(k/12)p60·(k/12)p65（Makeham 闭式），近似按公式手算
参数年金每年给付几次每月 1 次利率 i 5%x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）定期的年数 n 10 年第一个人的年龄 x 60 岁第二个人的年龄 y 65 岁
项标准答案平台算出
近似表 mthly · 第 1 行 7.4401206 7.4401206
每年 12 次（精确）表 mthly · 第 1 行 7.4386408 7.4386408
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	平台算出
联合生存 xy表 annual · 第 1 行	12.373812	12.373812
联合生存 xy表 annual · 第 2 行	0.41077086	0.41077086

项	标准答案	平台算出
Cov(v^T_xy, v^T_x̄ȳ)cov	0.0070861216	0.0070861216
Var(v^T)，第二死亡var_last	0.0082838614	0.0082838614

项	标准答案	平台算出
近似表 mthly · 第 1 行	7.4401206	7.4401206
每年 12 次（精确）表 mthly · 第 1 行	7.4386408	7.4386408

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行429 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multiple_lives import joint_life34result = joint_life.joint_life(5    x=60,6    y=57,7    table_x="2025-CL1-M",8    table_y="2025-CL1-F",9    interest=0.03,10    term=20,11    freq="12",12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 9 章 Joint life and last survivor benefits
IFoA CM1两个人的生存函数

覆盖的考试公式

JNT-001联合生存与最后生存概率ALTAMCM1
JNT-003联合生命保险与年金关系ALTAMCM1
JNT-004联合生命连续保险与方差ALTAMCM1
JNT-005联合与最后生存现值的协方差ALTAM
JNT-008联合生命的定期函数与 m 次付近似CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

两个相互独立的人（可以用不同的生命表）：联合生存和最后生存的概率、余命，连续和整年的保险、年金精算现值，定期的版本，现值的方差和两者的协方差，按 m 次给付的年金和它的近似。

说明和限制

两个人的寿命相互独立。要考虑相依（例如共同遭遇事故）时用“共同冲击模型”。
连续的精算现值在网格上用 Simpson 公式积分（每年 48 到 120 段）；整年的按年求和。连续的寿险用 Ā = 1 − δā 算，对任何死亡率都成立。
平台生命表在一岁之内死亡力不变；105 岁的 q = 1 按死亡力约 27.6 处理。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多生命，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一对夫妻，两人都活着、至少一人活着的概率是多少？第一个人、第二个人死亡时给付的保险和年金的精算现值是多少？”