共同冲击模型：相依的两个人 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

各自的死亡力

x 的年龄岁

0 岁100 岁

y 的年龄岁

0 岁100 岁

x 的死亡率

y 的死亡率

共同冲击的强度 λ每年

0 每年0.2 每年

利率 i%

0%15%

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套养老类业务表（男）；死亡率：《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号），第四套养老类业务表（女）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 440 毫秒 · 11/14 22:23 运行

联合生存年金 ā_xy: 15.8335
最后生存年金 ā_x̄ȳ: 20.2635
第二死亡保险 Ā_x̄ȳ（每元）: 0.401034
两人在同一事件中死亡的概率: 11.39%
和相互独立相比，最后生存年金少了: 0.851271

t 年后在各状态的概率

两人都活着
只有 x 活着
只有 y 活着
两人都死亡

纵轴：概率

各自的死亡力：x：第四套养老类业务表（男）；y：第四套养老类业务表（女）；共同冲击 λ = 0.005。
两人都活着的概率：前向方程和闭式解的最大差 4.1e-14。

共同冲击和相互独立的精算现值compare6 行 · 4 列

结果表共同冲击和相互独立的精算现值
精算现值	共同冲击	相互独立（边际相同）	差
联合生存年金 ā_xy	15.8335	14.9822	0.851271
最后生存年金 ā_x̄ȳ	20.2635	21.1148	-0.851271
第一死亡保险 Ā_xy	0.53198	0.557143	-0.0251625
第二死亡保险 Ā_x̄ȳ	0.401034	0.375871	0.0251625
x 的终身年金 ā_x（边际）	16.9179	16.9179	0
y 的终身年金 ā_y（边际）	19.1792	19.1792	0

各时点两人的状态概率states52 行 · 5 列

结果表各时点两人的状态概率
t（年）	两人都活着	只有 x 活着	只有 y 活着	两人都死亡
0	1	0	0	0
1	0.989547	0.00129205	0.00416764	0.00499296
2	0.978652	0.00267622	0.00869812	0.00997395
3	0.967273	0.0041654	0.0136152	0.0149467
4	0.955374	0.00577407	0.018936	0.0199158
5	0.94293	0.00751421	0.0246691	0.0248867
6	0.929923	0.00939533	0.0308157	0.0298658
7	0.916341	0.0114272	0.0373707	0.0348606
8	0.902178	0.0136161	0.0443263	0.0398796
9	0.887417	0.0159716	0.0516791	0.0449326
10	0.872023	0.0185059	0.0594388	0.050032
11	0.855937	0.0212364	0.0676334	0.0551929
12	0.839062	0.0241879	0.0763151	0.0604354
13	0.821257	0.0273934	0.0855631	0.0657865
14	0.802341	0.0308936	0.0954822	0.0712827
15	0.782097	0.0347341	0.106196	0.0769728
16	0.760279	0.0389618	0.117837	0.0829224
17	0.736627	0.0436203	0.130535	0.0892175
18	0.710892	0.0487424	0.144396	0.0959694
19	0.682849	0.0543435	0.159488	0.10332
20	0.65233	0.0604112	0.175815	0.111445
21	0.619238	0.0669005	0.193302	0.120559
22	0.58359	0.0737239	0.211768	0.130918
23	0.545906	0.0808057	0.230531	0.142757
24	0.506365	0.0879791	0.249267	0.156389
25	0.465239	0.0950245	0.26758	0.172156
26	0.422898	0.101671	0.285007	0.190424
27	0.379812	0.107602	0.301021	0.211564
28	0.336546	0.112474	0.315049	0.235931
29	0.293928	0.115742	0.326704	0.263626
30	0.252311	0.117416	0.335058	0.295215
31	0.212387	0.11723	0.339439	0.330944
32	0.174858	0.114981	0.339234	0.370927
33	0.140385	0.110555	0.333957	0.415102
34	0.109542	0.103963	0.323313	0.463183
35	0.0827567	0.0953638	0.307264	0.514615
36	0.0602725	0.0850801	0.286084	0.568563
37	0.0421113	0.0735878	0.260388	0.623913
38	0.028069	0.061484	0.231129	0.679318
39	0.0177363	0.0494294	0.199548	0.733286
40	0.0105487	0.0380716	0.167084	0.784295
41	0.00585746	0.0279614	0.135241	0.830941
42	0.00300875	0.0194816	0.105431	0.872079
43	0.00141476	0.0128047	0.0788318	0.906949
44	0.00060179	0.00789139	0.0562612	0.935246
45	0.000229678	0.00455401	0.0381093	0.957107
46	1.46×10⁻¹⁶	4.62×10⁻¹⁵	0.0244171	0.975583
47	8.74×10⁻²⁹	4.66×10⁻²⁷	0.0145669	0.985433
48	4.87×10⁻⁴¹	4.68×10⁻³⁹	0.00810651	0.991893
49	5.02×10⁻⁶⁵	4.71×10⁻⁵¹	8.07×10⁻¹⁵	1
50	5.18×10⁻⁸⁹	4.69×10⁻⁶³	8.04×10⁻²⁷	1
51	5.33×10⁻¹¹³	4.67×10⁻⁷⁵	8.01×10⁻³⁹	1

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
常数死亡力的闭式解（手算）：ā_xy = 1/(0.06 + δ)，ā_x̄ȳ = 1/(0.03 + δ) + 1/(0.04 + δ) − 1/(0.06 + δ)，同时死亡的概率 = λ/(μ*_x + μ*_y + λ)，δ = ln 1.05
参数各自的死亡力常数死亡力（有闭式解）利率 i 5%共同冲击的强度 λ 0.01 每年常数死亡力 μ*_x 0.02 每年常数死亡力 μ*_y 0.03 每年其余用默认值
项标准答案平台算出
最后生存年金 ā_x̄ȳa_last 14.762441 14.762441
联合生存年金 ā_xya_xy 9.1920075 9.1920075
两人在同一事件中死亡的概率p_both_die 0.16666667 0.16666667
允许误差 1×10⁻⁷
第 2 条
平台算出的数对得上
Dickson、Hardy、Waters《Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks》的标准终极生命表（SULT）：tp00 = tp*60·tp*65·e^(−λt)，边际 tpx = tp*x·e^(−λt)，ā 用 scipy.integrate.quad 独立积分
参数各自的死亡力用死亡率基础（每个人一张表）利率 i 5%共同冲击的强度 λ 0.01 每年x 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）y 的死亡率 AMLCR 标准终极生命表 SULT（Makeham：A = 0.00022，B = 2.7×10⁻⁶，c = 1.124）x 的年龄 60 岁y 的年龄 65 岁其余用默认值
项标准答案平台算出
最后生存年金 ā_x̄ȳa_last 13.912935 13.912935
联合生存年金 ā_xya_xy 10.886297 10.886297
允许误差 3×10⁻⁷

项	标准答案	平台算出
最后生存年金 ā_x̄ȳa_last	14.762441	14.762441
联合生存年金 ā_xya_xy	9.1920075	9.1920075
两人在同一事件中死亡的概率p_both_die	0.16666667	0.16666667

项	标准答案	平台算出
最后生存年金 ā_x̄ȳa_last	13.912935	13.912935
联合生存年金 ā_xya_xy	10.886297	10.886297

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行440 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.multiple_lives import common_shock34result = common_shock.common_shock(5    basis="table",6    x=60,7    y=57,8    table_x="2025-CL1-M",9    table_y="2025-CL1-F",10    mu_x=0.02,11    mu_y=0.03,12    lam=0.005,13    interest=0.03,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 9 章 9.6 The common shock model、9.3 Joint life as a multiple state model

覆盖的考试公式

JNT-009共同冲击模型ALTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

两个人各有死亡力 μ*，另有同时死亡的强度 λ。把两个人当成 4 个状态的多状态模型，解前向方程，算两人都活着的概率、联合生存和最后生存的年金和保险，并和“边际死亡力相同、但相互独立”的两个人比较。

说明和限制

在共同冲击模型里，每个人的边际死亡力是 μ* + λ。对照组“相互独立”用同样的边际死亡力 μ* + λ，但不会同时死亡。
前向方程用 4 阶 Runge-Kutta 解（每年 48 到 120 步），两人都活着的概率另用闭式解核对。
λ 是输入的假设，不是经验数据。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

多生命，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“夫妻可能在同一次事故里同时死亡，这对联合年金、最后生存年金和第二死亡保险的价值有多大影响？”