免赔额和限额的定价表（ILF） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

限额6 个数 · 元

每次事故

最小 5 万最大 200 万均值 65 万

1–12 个数，每个在 1–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

免赔额5 个数 · 元

每次事故

最小 0最大 1 万均值 3,700

1–12 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

基本限额 B元

ILF = 1 的限额

1 元1,000,000 万元

基准免赔额 d₀元

免赔额相对数 = 1

0 元1,000,000 万元

限额的含义

每张保单一年的出险次数次

从 0 元起算

0 次1,000 次

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：Pareto 分布 α = 2.5，θ = 20000

输出

用时 788 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

期望损失 E[X]（不限额）: 1.333 万元
基本限额的有限期望值 E[X∧B]: 1.243 万元
基准格的每次损失期望赔付: 1.243 万元
基准格的纯保费（每张保单）: 621.306元
最高限额 2,000,000 的 ILF: 1.07195

增额限额因子曲线

纵轴：ILF

限额是最高赔付额（免赔额以上再赔 L）。基准格：免赔额 0、限额 100,000，每次损失期望赔付 12,426.11 元。

免赔额相对数deductible5 行 · 6 列

结果表免赔额相对数
免赔额（元）	E[X∧d]（元）	LER	有赔付的概率	每次赔付的期望（元）	免赔额相对数
0	0	0	1	13,333.33	1
1,000	940.951	0.0705714	0.88517	14,000	0.929429
2,500	2,159.3	0.161948	0.744936	15,000	0.838052
5,000	3,792.78	0.284458	0.572433	16,666.67	0.715542
10,000	6,075.59	0.455669	0.362887	20,000	0.544331

免赔额 × 限额的纯保费（元）grid5 行 · 7 列

结果表免赔额 × 限额的纯保费（元）
免赔额（元）	限额 50,000	限额 100,000	限额 250,000	限额 500,000	限额 1,000,000	限额 2,000,000
0	11,297.06	12,426.11	13,064.53	13,232.76	13,296.72	13,320.2
1,000	10,398.97	11,496.39	12,125.06	12,292.1	12,355.83	12,379.26
2,500	9,242.17	10,294.44	10,908.92	11,074.18	11,137.56	11,160.92
5,000	7,704.48	8,687.22	9,279.05	9,441.42	9,504.22	9,527.47
10,000	5,591.08	6,453.17	7,003.21	7,160.01	7,221.67	7,244.71

增额限额因子（ILF）ilf6 行 · 5 列

结果表增额限额因子（ILF）
限额（元）	E[X∧L]（元）	ILF	边际（每元限额）	超过限额的概率
50,000	11,297.06	0.909138	0.225941	0.0436345
100,000	12,426.11	1	0.0225812	0.0113402
250,000	13,064.53	1.05138	0.00425609	0.00149336
500,000	13,232.76	1.06492	0.000672932	0.000290113
1,000,000	13,296.72	1.07006	0.000127927	0.00005384
2,000,000	13,320.2	1.07195	0.00002347	0.000009754

免赔额 × 限额的相对数relativity5 行 · 7 列

结果表免赔额 × 限额的相对数
免赔额（元）	限额 50,000	限额 100,000	限额 250,000	限额 500,000	限额 1,000,000	限额 2,000,000
0	0.909138	1	1.05138	1.06492	1.07006	1.07195
1,000	0.836864	0.925179	0.975773	0.989215	0.994344	0.996229
2,500	0.74377	0.828452	0.877903	0.891202	0.896303	0.898183
5,000	0.620023	0.69911	0.746738	0.759804	0.764858	0.76673
10,000	0.449946	0.519323	0.563588	0.576206	0.581169	0.583023

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（闭式公式）：Pareto α = 2，θ = 1000 时 E[X∧u] = 1000u/(u+1000)。ILF(5000) = 833.33/500 = 5/3；IDR(500) = (1000 − 333.33)/1000 = 2/3；d = 500、L = 5000 一格 = E[X∧5500] − E[X∧500] = 846.15 − 333.33
参数形状参数 α 2基准免赔额 d₀ 0 元基本限额 B 1,000 元免赔额 2 个数单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）限额的含义限额是最高赔付额：赔 min((X − d)₊, L)限额 1 个数尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
免赔额相对数表 deductible · 第 2 行 0.66666667 0.66666667
限额 50,000表 grid · 第 2 行 512.82051 512.82051
ILF表 ilf · 第 1 行 1.6666667 1.6666667
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
手算（闭式公式）：指数分布 E[X∧u] = θ(1 − e^{−u/θ})，ILF(2000) = (1 − e^{−2})/(1 − e^{−1}) = 1.367879
参数基准免赔额 d₀ 0 元基本限额 B 1,000 元免赔额 1 个数单次损失的分布指数分布 Exp(θ)限额 1 个数尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
ILF表 ilf · 第 1 行 1.3678794 1.3678794
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.5 的同一种算法：最高赔偿的损失 u = 500、免赔额 100 时每次损失赔 E[X∧500] − E[X∧100] = 1000(e^{−0.1} − e^{−0.5}) = 298.4
参数基准免赔额 d₀ 0 元基本限额 B 1,000 元免赔额 1 个数单次损失的分布指数分布 Exp(θ)限额的含义限额是最高赔偿的损失 u：赔 X∧u − X∧d（u 含免赔额）限额 1 个数尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
限额 50,000表 grid · 第 1 行 298.30676 298.30676
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
免赔额相对数表 deductible · 第 2 行	0.66666667	0.66666667
限额 50,000表 grid · 第 2 行	512.82051	512.82051
ILF表 ilf · 第 1 行	1.6666667	1.6666667

项	标准答案	平台算出
ILF表 ilf · 第 1 行	1.3678794	1.3678794

项	标准答案	平台算出
限额 50,000表 grid · 第 1 行	298.30676	298.30676

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行788 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.coverage import pricing_grid34result = pricing_grid.pricing_grid(5    dist="pareto",6    theta=20000,7    alpha=2.5,8    gamma=1,9    limits=[50000, 100000, 250000, 500000, 1000000, 2000000],10    deductibles=[0, 1000, 2500, 5000, 10000],11    basic_limit=100000,12    base_deductible=0,13    limit_basis="payment",14    frequency=0.05,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 8 章 Coverage modifications；增额限额因子
Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.1 Coverage Modifications

覆盖的考试公式

COV-006增额限额因子与免赔额相对数ASTAMCAS5SP8
COV-001每次损失赔付：免赔额、限额、共保与通胀FAMASTAMMAS-ICS2SP8
COV-002有限期望值FAMASTAMCAS5MAS-ICS2SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

给一个单次损失的分布，算增额限额因子 ILF、免赔额相对数，以及免赔额 × 限额每一格的每次损失期望赔付和相对于基准格的系数。

说明和限制

ILF 只看限额，按从 0 元起赔（没有免赔额）算。免赔额相对数只看免赔额，按不限额算。表格里每一格同时考虑两者。
ILF 只含期望损失，没有风险附加。高限额的风险更大，实务中常另加风险附加或按经验调整。
两参数 Pareto 在 scipy 里是 lomax。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保障调整，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“基本限额的费率定好了，换成别的限额、别的免赔额，保费要乘多少？”