经验有限期望值和损失消除率

手上有一批损失金额，不假设分布，免赔额或限额能消掉多少？超过免赔额以后平均还赔多少？

SOA FAMSOA ASTAMCAS 5CAS MAS-IIFoA CS2IFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 3 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

损失金额20 个数 · 元

每次损失，从 0 元起算

最小 320最大 4.6 万均值 6,433

1–200 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

免赔额 d元

0 元100,000,000 万元

限额 u元

最高赔偿的损失，0 表示不限

0 元100,000,000 万元

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的 20 笔损失计算

输出

用时 193 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:23 运行

损失笔数: 20笔
平均损失: 6,433元
经验有限期望值 E_n[X∧d]: 905.5元
经验损失消除率 LER_n(d): 14.08%
超过免赔额的比例: 75%
超额均值 e_n(d): 7,370元
每次损失的平均赔付: 5,527.5元
每次赔付的平均赔付: 7,370元

经验损失消除率

纵轴：损失消除率

超额均值曲线向上走，说明尾部比指数分布重（例如 Pareto）；大致水平说明接近指数分布。最右边几个点只靠很少几笔损失，不要过度解读。

不同免赔额的经验 LEV 和 LERquantiles4 行 · 6 列

结果表不同免赔额的经验 LEV 和 LER
免赔额取	免赔额（元）	E_n[X∧d]（元）	LER	超过的笔数	超额均值（元）
25% 分位数	1,137.5	1,008.63	0.156789	15	7,232.5
50% 分位数	2,500	1,823	0.283383	10	9,220
75% 分位数	6,000	3,058	0.475361	5	13,500
90% 分位数	14,250	4,508	0.700762	2	19,250

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02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：Loss Data Analytics 第 2 版例 13.4.4 的四笔赔款 50、600、1800、4000，d = 100。min(xᵢ, 100) 的合计 350，平均 87.5；LER = 350/6450；超过 100 的 3 笔超出部分 500 + 1700 + 3900 = 6100，平均 2033.33
参数免赔额 d 100 元损失金额 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
经验损失消除率 LER_n(d)ler 0.054263566 0.054263566
经验有限期望值 E_n[X∧d]lev_d 87.5 87.5
超额均值 e_n(d)mean_excess 2,033.3333 2,033.3333
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：同一组赔款，赔 min(x, 3000) − min(x, 100)：0、500、1700、2900，平均 1275（例 13.4.4 的第 2 层）
参数免赔额 d 100 元损失金额 4 个数限额 u 3,000 元
项标准答案平台算出
每次损失的平均赔付per_loss 1,275 1,275
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

项	标准答案	平台算出
经验损失消除率 LER_n(d)ler	0.054263566	0.054263566
经验有限期望值 E_n[X∧d]lev_d	87.5	87.5
超额均值 e_n(d)mean_excess	2,033.3333	2,033.3333

项	标准答案	平台算出
每次损失的平均赔付per_loss	1,275	1,275

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：3 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 9 行193 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.coverage import empirical_lev34result = empirical_lev.empirical_lev(5    losses=[320, 450, 610, 780, 950, 1200, 1350, 1600, 1900, 2300, 2700, 3100, 3800, 4500, 5600, 7200, 9800, 13500, 21000, 46000],6    d=1000,7    u=0,8)9print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.3.2 Plug-in Principle

覆盖的考试公式

COV-002有限期望值FAMASTAMCAS5MAS-ICS2SP8
COV-005损失消除率FAMASTAMCAS5MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

把经验分布代入有限期望值：E_n[X∧d] = 平均 min(xᵢ, d)，算经验 LER、超额均值 e_n(d) 和限额下的平均赔付，画出它们随免赔额的变化。

说明和限制

插入法把每笔损失看作同样可能。数据少时尾部的估计很不稳定。
损失要是从 0 元起算的金额。如果数据本身已经扣了免赔额或被限额截断，结果会偏。

数据

按输入的损失金额计算。默认是一组示例数字，不是真实数据

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保障调整，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“手上有一批损失金额，不假设分布，免赔额或限额能消掉多少？超过免赔额以后平均还赔多少？”