免赔额对赔付次数的影响 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

出险次数的分布

泊松的 λ次

均值

0 次5,000 次

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

现在的免赔额 d₁元

上面的次数分布是这个免赔额下的赔付次数；0 表示损失次数

0 元100,000 万元

新的免赔额 d₂元

0 元100,000 万元

暴露变成几倍

例如保单数、车辆数的变化

0.011,000

当前选项用不到的 6 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：泊松 λ = 0.4，Pareto 分布 α = 4，θ = 150

输出

用时 934 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:21 运行

v₁ = S(d₁): 0.482253
v₂ = S(d₂): 0.1296
损失次数的均值 E[N^L]: 0.82944次
现在的赔付次数均值: 0.4次
新的赔付次数均值 E[N^P]: 0.107495次
新的赔付次数方差 Var(N^P): 0.107495次²
新的 P(N^P = 0): 0.898081
赔付次数的变化: -0.731261

免赔额和赔付次数的均值

纵轴：次

免赔前后赔付次数的分布freqs3 行 · 5 列

结果表免赔前后赔付次数的分布
次数	分布	均值	方差	P(N = 0)
现在的赔付次数（d₁）	泊松 λ = 0.4	0.4	0.4	0.67032
损失次数（没有免赔额）	泊松 λ = 0.82944	0.82944	0.82944	0.436294
新的赔付次数（d₂）	泊松 λ = 0.107495	0.107495	0.107495	0.898081

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02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.5.2：Pareto(4, 150)，d₁ = 30 时赔付次数 Poi(0.4)，d₂ = 100 时 λ₂ = 0.4(6/5)⁴(3/5)⁴ = 0.1075
参数形状参数 α 4现在的免赔额 d₁ 30 元新的免赔额 d₂ 100 元单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 0.4 次尺度参数 θ 150 元其余用默认值
项标准答案这次算出
新的赔付次数均值 E[N^P]mean_new 0.10749542 0.10749542
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.5.3：负二项，d₁ = 30 时均值 0.4（这里取 r = 2，β = 0.2），d₂ = 100 时均值仍是 0.1075
参数形状参数 α 4负二项、几何、对数分布的 β 0.2现在的免赔额 d₁ 30 元新的免赔额 d₂ 100 元单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）出险次数的分布负二项 NB(r, β)负二项的 r 2尺度参数 θ 150 元其余用默认值
项标准答案平台算出
新的赔付次数均值 E[N^P]mean_new 0.10749542 0.10749542
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.5.4 的模型（ZM 泊松 λ = 3、p₀ᴹ = 0.5，Burr(3, 50, 1)，d = 30），v = 0.2441。按 Loss Models 第 8.6 节重新计算：E[N^P] = v·E[N^L] = 0.3854，Var(N^P) = cλv + c(1 − c)(λv)² = 0.5191，c = 0.5/(1 − e⁻³)
参数形状参数 α 3现在的免赔额 d₁ 0 元新的免赔额 d₂ 30 元单次损失的分布 Burr 分布 Burr(α, θ, γ)出险次数的分布零修正泊松 ZM-Poi(λ, p₀ᴹ)第二个形状参数 γ 1泊松的 λ 3 次零修正分布的 p₀ᴹ 0.5尺度参数 θ 50 元其余用默认值
项标准答案平台算出
新的赔付次数均值 E[N^P]mean_new 0.38539881 0.38539881
v₂ = S(d₂)v2 0.24414063 0.24414063
新的赔付次数方差 Var(N^P)var_new 0.51914109 0.51914109
说明：书中认为变薄后 p₀ᴹ 不变，得到 E = 0.7053、Var = 0.7244，这是错的：E[N^P] 必须等于 v·E[N^L] = 0.2441 × 1.5786 = 0.3854。正确的做法是 c = (1 − p₀ᴹ)/(1 − e^{−λ}) 不变，p₀ᴹ 变成 1 − c(1 − e^{−λv}) = 0.7372。两种方法（期望的稀疏公式、概率母函数展开）结果一致
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

项	标准答案	这次算出
新的赔付次数均值 E[N^P]mean_new	0.10749542	0.10749542

项	标准答案	平台算出
新的赔付次数均值 E[N^P]mean_new	0.10749542	0.10749542

项	标准答案	平台算出
新的赔付次数均值 E[N^P]mean_new	0.38539881	0.38539881
v₂ = S(d₂)v2	0.24414063	0.24414063
新的赔付次数方差 Var(N^P)var_new	0.51914109	0.51914109

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行934 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.coverage import deductible_frequency34result = deductible_frequency.deductible_frequency(5    freq_dist="poisson",6    lam=0.4,7    r=2,8    beta=0.5,9    m=10,10    q=0.1,11    p0m=0.5,12    dist="pareto",13    theta=150,14    alpha=4,15    gamma=1,16    d1=30,17    d2=100,18    exposure=1,19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.5.1 Impact of Exposure on Frequency；7.5.2 Impact of Deductibles on Claim Frequency
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 8.6 节 The impact of deductibles on claim frequency

这个方法算什么

每次损失以 v = S(d) 的概率超过免赔额，赔付次数是损失次数的二项稀疏：泊松 λ → λv，负二项 β → βv，二项 q → qv，零修正分布的 p₀ᴹ 跟着变。也可以同时调整暴露。

说明和限制

假设免赔额不改变投保人的行为：损失次数和单次损失的分布不变，只是低于免赔额的损失不再赔。
d₁ > 0 时，先用 v₁ = S(d₁) 把赔付次数还原成损失次数，再按 v₂ = S(d₂) 稀疏。二项分布还原时 q/v₁ 不能超过 1。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保障调整，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“免赔额从 d₁ 改成 d₂，赔付次数的分布变成什么？平均少赔几次？”