超额均值和每次赔付 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

免赔额 d元

0 元100,000 万元

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：Pareto 分布 α = 3，θ = 2000

输出

用时 829 毫秒 · 11/14 22:25 运行

超额均值 e(d) = E[Y^P]: 1,250元
有赔付的概率 S(d): 51.2%
每次赔付的方差 Var(Y^P): 468.8 万元²
每次赔付的标准差: 2,165.06元
每次赔付的变异系数: 1.73205
期望损失 E[X]: 1,000元

超额均值函数 e(x)

纵轴：元

每次赔付的分布：仍是 Pareto 分布 Pareto(α = 3, θ + d = 2500)。
方差为空表示二阶矩不存在（例如 Pareto α ≤ 2）。

各阈值的超额均值by_quantile5 行 · 3 列

结果表各阈值的超额均值
分位数水平	阈值 x（元）	超额均值 e(x)（元）
0.5	519.842	1,259.92
0.75	1,174.8	1,587.4
0.9	2,308.87	2,154.43
0.95	3,428.84	2,714.42
0.99	7,283.18	4,641.59

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.2：密度 f(x) = 0.02x（0 < x < 10），免赔额 4，E[Y^P] = 2.88/0.84 = 3.43
参数形状参数 α 2免赔额 d 4 元单次损失的分布贝塔分布 θ·Beta(a = α, b = γ)，在 (0, θ) 上第二个形状参数 γ 1尺度参数 θ 10 元
项标准答案平台算出
超额均值 e(d) = E[Y^P]e_d 3.4285714 3.4285714
说明：f(x) = 0.02x 在 (0, 10) 上就是 10·Beta(2, 1)
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算（闭式公式）：Pareto(α, θ) 超过 d 以后是 Pareto(α, θ + d)，e(d) = (θ + d)/(α − 1) = 750，方差 = 2(θ+d)²/((α−1)(α−2)) − 750²
参数形状参数 α 3免赔额 d 500 元单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
超额均值 e(d) = E[Y^P]e_d 750 750
每次赔付的方差 Var(Y^P)var_payment 1,687,500 1,687,500
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：指数分布的无记忆性，超过免赔额的部分仍是 Exp(θ)，均值 θ，方差 θ²
参数免赔额 d 300 元单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
超额均值 e(d) = E[Y^P]e_d 1,000 1,000
每次赔付的方差 Var(Y^P)var_payment 1,000,000 1,000,000
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
超额均值 e(d) = E[Y^P]e_d	3.4285714	3.4285714

项	标准答案	平台算出
超额均值 e(d) = E[Y^P]e_d	750	750
每次赔付的方差 Var(Y^P)var_payment	1,687,500	1,687,500

项	标准答案	平台算出
超额均值 e(d) = E[Y^P]e_d	1,000	1,000
每次赔付的方差 Var(Y^P)var_payment	1,000,000	1,000,000

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行829 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.coverage import mean_excess34result = mean_excess.mean_excess(5    dist="pareto",6    theta=2000,7    alpha=3,8    gamma=1,9    d=500,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.1.1 Deductibles；13.2 Tails of Distributions
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 3 章 mean excess loss；第 8 章

覆盖的考试公式

COV-004每次赔付的赔付额FAMASTAMMAS-I
REI-005再保险人赔付的条件分布CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

超额均值 e(d) = E[X − d | X > d]，每次赔付 Y^P 的均值、方差和分布，以及 e(x) 曲线（判断尾部轻重）。

说明和限制

超额均值随免赔额增加：重尾（Pareto、对数正态）；不变：指数分布；减少：轻尾（伽马 α > 1、威布尔 τ > 1、有上限的分布）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保障调整，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“损失超过免赔额以后，平均还要赔多少？赔付金额的波动有多大？”