损失消除率 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ

1 元10,000 万元

免赔额 d元

0 元10,000 万元

免赔方式

最高赔偿的损失 u元

0 表示不限

0 元100,000 万元

共保比例 c

保险公司赔的比例

0.011

损失的通胀率 r

-0.51

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：指数分布 Exp(θ)

输出

用时 805 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

期望损失 E[X]: 1,000元
有限期望值 E[X∧d]: 95.1626元
损失消除率 LER: 9.52%
有赔付的概率: 90.48%
每次损失的期望赔付 E[Y^L]: 904.837元
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]: 1,000元
每次损失赔付的方差 Var(Y^L): 99.09 万元²
每次损失赔付的标准差: 995.462元

免赔额和损失消除率

纵轴：损失消除率

不同免赔额的有限期望值和 LERler7 行 · 3 列

结果表不同免赔额的有限期望值和 LER
免赔额 d（元）	E[X∧d]（元）	LER
0	0	0
50	48.7706	0.0487706
100	95.1626	0.0951626
200	181.269	0.181269
500	393.469	0.393469
693.147	500	0.5
2,302.59	900	0.9

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.3：指数分布，今年的 LER 是 70%，免赔额提高到 4/3 倍，LER = 1 − 0.3^{4/3}
参数免赔额 d 1,605.2967 元损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
损失消除率 LERler 0.79917011 0.79917004
说明：书里取整为 0.8。这里用未取整的 0.79916。LER 和 θ 无关，θ 取 1000，d = 1000 × 4/3 × ln(1/0.3)
允许误差 0.000001
第 2 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.1：指数分布均值 1000，免赔额 100，每次损失赔付的方差 990,944
参数免赔额 d 100 元损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案这次算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss 904.83742 904.83742
每次损失赔付的方差 Var(Y^L)var_per_loss 990,944 990,944.08
允许误差 1
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.5：2006 年，免赔额 100，最多赔 500
参数免赔额 d 100 元损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 1,000 元最高赔偿的损失 u 600 元其余用默认值
项标准答案平台算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss 356.026 356.02578
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]per_payment 393.469 393.46934
允许误差 0.001
第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.5：2007 年损失增长 5%，免赔额和最高赔付不变
参数免赔额 d 100 元损失的分布指数分布 Exp(θ)损失的通胀率 r 0.05尺度参数 θ 1,000 元最高赔偿的损失 u 600 元其余用默认值
项标准答案平台算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss 361.659 361.66024
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]per_payment 397.797 397.79758
说明：书里把 100/1.05 和 600/1.05 取整为 95.24 和 571.43，所以误差放到 0.005
允许误差 0.005
第 5 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.6：两参数 Pareto α = 5，θ = 3600，保险公司赔 0.85 (X∧5000)，均值 741.5103
参数形状参数 α 5共保比例 c 0.85免赔额 d 0 元损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度参数 θ 3,600 元最高赔偿的损失 u 5,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss 741.5103 741.51029
允许误差 0.001

项	标准答案	平台算出
损失消除率 LERler	0.79917011	0.79917004

项	标准答案	这次算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss	904.83742	904.83742
每次损失赔付的方差 Var(Y^L)var_per_loss	990,944	990,944.08

项	标准答案	平台算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss	356.026	356.02578
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]per_payment	393.469	393.46934

项	标准答案	平台算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss	361.659	361.66024
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]per_payment	397.797	397.79758

项	标准答案	平台算出
每次损失的期望赔付 E[Y^L]per_loss	741.5103	741.51029

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行805 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.coverage import ler34result = ler.loss_elimination_ratio(5    dist="exponential",6    theta=1000,7    alpha=3,8    d=100,9    deductible_type="ordinary",10    u=0,11    coinsurance=1,12    inflation=0,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.1 Coverage Modifications
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 8 章 Frequency and severity with coverage modifications；附录 A

覆盖的考试公式

COV-001每次损失赔付：免赔额、限额、共保与通胀FAMASTAMMAS-ICS2SP8
COV-002有限期望值FAMASTAMCAS5MAS-ICS2SP8
COV-003绝对免赔与相对免赔（franchise）FAMASTAMMAS-I
COV-004每次赔付的赔付额FAMASTAMMAS-I
COV-005损失消除率FAMASTAMCAS5MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

有限期望值、损失消除率，免赔额、限额、共保、通胀以后每次损失和每次赔付的期望和方差。

说明和限制

两参数 Pareto 在 scipy 里是 lomax，不是 scipy.stats.pareto。
损失消除率只看免赔额：LER = 免赔额消掉的期望损失 ÷ 期望损失。限额和共保另算在赔付里。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保障调整，还有 5 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“免赔额能消掉百分之几的损失？加上限额、共保和通胀，每次赔多少？”