主成分分析：载荷、得分和方差解释比例（PVE） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

预处理

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

公开样例

USArrests：1973 年美国 50 个州每 10 万人的谋杀、袭击、强奸被捕数和城市人口比例（McNeil 1977，R 的 datasets 包自带，公有领域）。James 等《An Introduction to Statistical Learning》第 12 章用它讲主成分和聚类

输出

用时 347 毫秒 · 11/14 22:23 运行

变量数: 4
观测数: 50
第一主成分的 PVE: 0.62006
累计 PVE 达到 80% 要几个主成分: 2

碎石图：方差解释比例

PVE
累计 PVE

纵轴：比例

载荷 φloadings4 行 · 5 列

结果表载荷 φ
变量	PC1	PC2	PC3	PC4
谋杀（每 10 万人）	0.535899	-0.418181	0.341233	0.649228
袭击（每 10 万人）	0.583184	-0.187986	0.268148	-0.743407
城市人口 %	0.278191	0.872806	0.378016	0.133878
强奸（每 10 万人）	0.543432	0.167319	-0.817778	0.0890243

每个主成分的方差解释比例pve4 行 · 4 列

结果表每个主成分的方差解释比例
主成分	标准差	PVE	累计 PVE
PC1	1.57488	0.62006	0.62006
PC2	0.994869	0.247441	0.867502
PC3	0.597129	0.0891408	0.956642
PC4	0.416449	0.0433575	1

得分 z（前 20 个观测）scores20 行 · 5 列

结果表得分 z（前 20 个观测）
观测	PC1 得分	PC2 得分	PC3 得分	PC4 得分
Alabama	0.97566	-1.122	0.439804	0.154697
Alaska	1.93054	-1.06243	-2.0195	-0.434175
Arizona	1.74544	0.73846	-0.0542302	-0.826264
Arkansas	-0.139999	-1.10854	-0.113422	-0.180974
California	2.49861	1.52743	-0.592541	-0.338559
Colorado	1.49934	0.97763	-1.084	0.00145016
Connecticut	-1.34499	1.07798	0.636793	-0.117279
Delaware	0.0472298	0.322089	0.71141	-0.873113
Florida	2.98276	-0.0388342	0.571032	-0.095317
Georgia	1.62281	-1.26609	0.339018	1.06597
Hawaii	-0.903484	1.55468	-0.0502715	0.893733
Idaho	-1.62332	-0.208853	-0.25719	-0.494088
Illinois	1.36505	0.674988	0.670686	-0.120795
Indiana	-0.500381	0.150039	-0.225763	0.420398
Iowa	-2.231	0.103008	-0.16291	0.0173795
Kansas	-0.788872	0.267449	-0.0252965	0.204421
Kentucky	-0.743313	-0.948807	0.0280843	0.663817
Louisiana	1.54909	-0.8623	0.775606	0.450158
Maine	-2.37274	-0.372609	0.0650222	-0.327139
Maryland	1.74565	-0.423357	0.15567	-0.553451

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
James 等 ISLR 第 2 版 12.2.3、图 12.3：USArrests 标准化后 4 个主成分的 PVE 是 62.0%、24.7%、8.9%、4.3%
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
PVE表 pve · 第 1 行 0.62 0.62006039
PVE表 pve · 第 2 行 0.247 0.24744129
PVE表 pve · 第 3 行 0.089 0.089140795
PVE表 pve · 第 4 行 0.043 0.043357522
允许误差 0.0005
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
PVE表 pve · 第 1 行	0.62	0.62006039
PVE表 pve · 第 2 行	0.247	0.24744129
PVE表 pve · 第 3 行	0.089	0.089140795
PVE表 pve · 第 4 行	0.043	0.043357522

第 2 条

这次算出的数对得上

James 等 ISLR 第 2 版 12.2.1、表 12.1：USArrests 第一、二主成分的载荷（R 的 prcomp 输出，符号按"载荷之和为正"统一）

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
PC1表 loadings · 第 1 行	0.5358995	0.53589947
PC1表 loadings · 第 2 行	0.5831836	0.58318363
PC1表 loadings · 第 3 行	0.2781909	0.27819087
PC2表 loadings · 第 3 行	0.8728062	0.87280619
PC1表 loadings · 第 4 行	0.5434321	0.54343209

允许误差 5×10⁻⁷

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 3 条
平台算出的数对得上
手算：4 个点在正方形的 4 个角上，两个方向的方差相等，每个主成分各解释一半
参数数据自己输入 x1、x2（可选 x3）变量的个数 2 个预处理只减均值x1 4 个数x2 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
PVE表 pve · 第 1 行 0.5 0.5
PVE表 pve · 第 2 行 0.5 0.5
允许误差 1×10⁻¹²

项	标准答案	平台算出
PVE表 pve · 第 1 行	0.5	0.5
PVE表 pve · 第 2 行	0.5	0.5

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行347 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.statistical_learning import unsupervised34result = unsupervised.pca(5    data="usarrests",6    n_x="2",7    x1=[1, 2, 3, 10, 11, 12],8    x2=[1, 1, 2, 8, 9, 8],9    x3=[0, 0, 0, 0, 0, 0],10    scale="yes",11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

James、Witten、Hastie、Tibshirani：An Introduction to Statistical Learning（第 2 版）第 12 章无监督学习
Jolliffe：Principal Component Analysis（第 2 版）第 1–3 章

覆盖的考试公式

SML-008主成分分析与方差解释比例（PVE）SRMPAMAS-IMAS-II

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对（标准化的）数据做奇异值分解，给出每个主成分的载荷 φ、得分 z、方差解释比例 PVE 和累计 PVE，画碎石图。载荷的符号取"载荷之和为正"。

说明和限制

变量的量纲不同（例如 USArrests 的袭击数比谋杀数大一个数量级）时要标准化，否则第一主成分几乎只是方差最大的那个变量（ISLR 图 12.4）。
载荷向量的符号不唯一：φ 和 −φ 是同一个主成分。这里把每个主成分的载荷之和取为正。
得分表只列前 20 个观测。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

统计学习，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几个相关的变量能不能用少数几个综合指标概括？每个主成分是哪些变量的组合，解释了多少方差，要留几个？”