K 均值聚类：类内平方和和肘部图 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

预处理

类的个数 K

110

随机起点的个数

150

随机种子

010 万

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

公开样例

USArrests：1973 年美国 50 个州每 10 万人的谋杀、袭击、强奸被捕数和城市人口比例（McNeil 1977，R 的 datasets 包自带，公有领域）。James 等《An Introduction to Statistical Learning》第 12 章用它讲主成分和聚类

输出

用时 390 毫秒 · 11/14 22:23 运行

K: 4
总的类内平方和（到中心）: 56.4032
Σ W(C_k)（两两距离的写法）: 112.806
类间平方和占总平方和: 0.712229
最好的起点在第几次: 8

肘部图

纵轴：总的类内平方和

中心换回原来的量纲（标准化之前）。

每一类的大小、中心和类内平方和clusters4 行 · 8 列

结果表每一类的大小、中心和类内平方和
类	观测数	到中心的平方和	W(C_k)（两两距离）	中心：谋杀（每 10 万人）	中心：袭击（每 10 万人）	中心：城市人口 %	中心：强奸（每 10 万人）
1	13	11.9525	23.9049	3.6	78.5385	52.0769	12.1769
2	16	16.2122	32.4244	5.65625	138.875	73.875	18.7813
3	13	19.9224	39.8449	10.8154	257.385	76	33.1923
4	8	8.31606	16.6321	13.9375	243.625	53.75	21.4125

肘部图：K 和总的类内平方和elbow8 行 · 2 列

结果表肘部图：K 和总的类内平方和
K	总的类内平方和
1	196
2	102.862
3	78.3564
4	56.4032
5	49.9118
6	45.4553
7	39.0962
8	36.7956

每个观测的类别members50 行 · 2 列

结果表每个观测的类别
观测	类
Alabama	4
Alaska	3
Arizona	3
Arkansas	4
California	3
Colorado	3
Connecticut	2
Delaware	2
Florida	3
Georgia	4
Hawaii	2
Idaho	1
Illinois	3
Indiana	2
Iowa	1
Kansas	2
Kentucky	1
Louisiana	4
Maine	1
Maryland	3
Massachusetts	2
Michigan	3
Minnesota	1
Mississippi	4
Missouri	3
Montana	1
Nebraska	1
Nevada	3
New Hampshire	1
New Jersey	2
New Mexico	3
New York	3
North Carolina	4
North Dakota	1
Ohio	2
Oklahoma	2
Oregon	2
Pennsylvania	2
Rhode Island	2
South Carolina	4
South Dakota	1
Tennessee	4
Texas	3
Utah	2
Vermont	1
Virginia	2
Washington	2
West Virginia	1
Wisconsin	1
Wyoming	2

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：1、2、3 和 10、11、12 两类，中心 2 和 11，到中心的平方和 2 + 2 = 4；两两距离的写法 (1/3)·2·(1 + 4 + 1) = 4 每类，合计 8 = 2 × 4

参数数据自己输入 x1、x2（可选 x3）类的个数 K 2变量的个数 1 个预处理只减均值x1 6 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
Σ W(C_k)（两两距离的写法）w_pairwise	8	8
总的类内平方和（到中心）wss	4	4
中心：谋杀（每 10 万人）表 clusters · 第 1 行	2	2
中心：谋杀（每 10 万人）表 clusters · 第 2 行	11	11

允许误差 1×10⁻¹²

第 2 条
这次算出的数对得上
scikit-learn 1.9.1 的 KMeans(n_clusters=4, n_init=50) 独立计算：USArrests 标准化（ddof = 1）后的类内平方和 inertia_
参数类的个数 K 4随机起点的个数 20其余用默认值
项标准答案这次算出
总的类内平方和（到中心）wss 56.403173 56.403173
允许误差 0 + 1×10⁻⁸×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
总的类内平方和（到中心）wss	56.403173	56.403173

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行390 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.statistical_learning import unsupervised34result = unsupervised.kmeans(5    data="usarrests",6    n_x="2",7    x1=[1, 2, 3, 10, 11, 12],8    x2=[1, 1, 2, 8, 9, 8],9    x3=[0, 0, 0, 0, 0, 0],10    scale="yes",11    k=4,12    n_start=20,13    seed=1,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

James、Witten、Hastie、Tibshirani：An Introduction to Statistical Learning（第 2 版）第 12 章无监督学习
Lloyd (1982) Least squares quantization in PCM, IEEE Transactions on Information Theory 28

覆盖的考试公式

SML-009K 均值聚类SRMPAMAS-IICS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Lloyd 算法：随机取 K 个初始中心，交替"每个点归到最近的中心"和"中心取组内的均值"，直到不再变化；从多个随机起点出发，留类内平方和最小的结果。给出每一类的大小和中心、W(C_k) 的两种写法（两两距离、到中心的距离，二者相差 2 倍），以及 K = 1–8 的肘部图。

说明和限制

Lloyd 算法每一步都不增加类内平方和，但只能保证局部最优，所以要多个随机起点（ISLR 图 12.8）。
W(C_k) 按 ISLR 的写法是组内两两距离之和除以 |C_k|，它等于到中心的距离平方和的 2 倍。表里两种都列出来。
变量量纲不同时先标准化。肘部图看 K 增加时总的类内平方和下降变慢的位置。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

统计学习，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“怎么把观测分成 K 组，让组内尽量相似？分几组合适？”