Copula 的拟合：τ 反解和伪最大似然 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

变量 X6 个数

选“用输入的两列数”时用

最小 3最大 21均值 10.83

5–3,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

变量 Y6 个数

和 X 一一对应

最小 7最大 19均值 13.67

5–3,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

模拟用的 Copula

模拟用的 Kendall τ

0.010.9

模拟的对数

203,000

随机数种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

模拟的 400 对（种子 2026，示例数据）：Gumbel Copula，τ = 0.4（θ = 1.667）；X ~ LN(8, 1)，Y ~ Pareto(3, 2000)

输出

用时 1.0 秒 · 11/14 22:46 运行

样本对数: 400对
Kendall τ: 0.391178
Spearman ρ: 0.552417
AIC 最小的 Copula: Gumbel
它的参数（伪最大似然）: 1.61997
它的下尾相依 λ_L: 0
它的上尾相依 λ_U: 0.466004

伪观测：按 u 排序后的 v

纵轴：v

各 copula 的拟合结果fits5 行 · 10 列

结果表各 copula 的拟合结果
Copula	τ 反解的参数	伪最大似然的参数	t 的自由度	对数似然	AIC	比最好的多	模型的 τ	λ_L	λ_U
Gumbel	1.64252	1.61997	—	84.0911	-166.182	0	0.382706	0	0.466004
t	0.576518	0.57775	10	80.8333	-157.667	8.51564	0.392138	0.114195	0.114195
高斯	0.576518	0.579242	—	79.1729	-156.346	9.83649	0.393303	0	0
Frank	4.04076	4.03417	—	72.7534	-143.507	22.6754	0.390689	0	0
Clayton	1.28503	0.750529	—	47.5382	-93.0765	73.1058	0.272867	0.397109	0

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版 16.1 节的 6 对数据，τ = 0.2。手算 Clayton 2τ/(1 − τ)，Gumbel 1/(1 − τ)；Frank 用另写的程序（Debye 函数数值积分 + 二分法）解 1 − 4/θ(1 − D₁(θ)) = 0.2
参数数据用输入的两列数变量 X 6 个数变量 Y 6 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
τ 反解的参数表 fits · family=clayton 0.5 0.5
τ 反解的参数表 fits · family=frank 1.8608838 1.8608838
τ 反解的参数表 fits · family=gumbel 1.25 1.25
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
独立核对：另写的程序直接按密度公式算伪对数似然，在 θ 的网格（步长 0.0005）上找最大值
参数数据用输入的两列数变量 X 6 个数变量 Y 6 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
伪最大似然的参数表 fits · family=clayton 0.823 0.82300569
伪最大似然的参数表 fits · family=gaussian 0.665 0.66475792
允许误差 0.001

项	标准答案	平台算出
τ 反解的参数表 fits · family=clayton	0.5	0.5
τ 反解的参数表 fits · family=frank	1.8608838	1.8608838
τ 反解的参数表 fits · family=gumbel	1.25	1.25

项	标准答案	平台算出
伪最大似然的参数表 fits · family=clayton	0.823	0.82300569
伪最大似然的参数表 fits · family=gaussian	0.665	0.66475792

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行1.0 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.copula import fit34result = fit.fit(5    source="simulated",6    x=[15, 9, 5, 3, 21, 12],7    y=[19, 7, 13, 15, 17, 11],8    true_family="gumbel",9    true_tau=0.4,10    true_nu=4,11    n=400,12    seed=2026,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）16.3 Application Using Copulas
Genest、Ghoudi、Rivest (1995) 半参数估计（伪最大似然）
Nelsen：An Introduction to Copulas

覆盖的考试公式

PRB-013阿基米德 copula（Gumbel、Clayton、Frank）CS2
PRB-014高斯与 t copulaCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

把两列数换成伪观测（秩），对高斯、t、Clayton、Gumbel、Frank 各用 Kendall τ 反解和伪最大似然估计参数，按 AIC 排序，给出尾部相依系数。

说明和限制

伪最大似然不估计边际分布，只用秩，所以边际选错不影响 Copula 的参数。
t Copula 的自由度在 2、3、4、5、6、8、10、15、20、30、50 里挑似然最大的，AIC 按 2 个参数算。
样本小的时候各族的 AIC 差别不大，不能据此断定哪一族正确。

数据

没有用平台数据：默认是模拟的示例数据（对数正态的赔款、Pareto 的理赔费用），也可以输入两列数

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

相依与 Copula，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两类损失之间的相依结构用哪种 Copula 最合适？参数是多少？”