Copula 的分布函数、密度、Kendall τ 和尾部相依

参考

• Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）16.2—16.5 Copulas
• Nelsen：An Introduction to Copulas，第 4、5 章

覆盖的考试公式

• PRB-013阿基米德 copula（Gumbel、Clayton、Frank）CS2
• PRB-014高斯与 t copulaCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

高斯、t、Clayton、Gumbel、Frank 5 种 Copula：C(u,v)、密度 c(u,v)、Kendall τ、Spearman ρ、上下尾相依系数、Fréchet 上下界；对角线和尾部相依的图。

说明和限制

• 有一份精算考试公式表把 Clayton 和 Frank 的生成元标反了。这里按标准写法：Clayton 的生成元是 (t^{−θ} − 1)/θ，Frank 的是 −ln((e^{−θt} − 1)/(e^{−θ} − 1))。
• Clayton 只有下尾相依，Gumbel 只有上尾相依，t 两边都有，高斯和 Frank 没有。巨灾和大额赔款一起出现通常用 Gumbel 或 t。
• t Copula 的分布函数用 scipy 的数值积分（种子固定），Spearman ρ 用 20 万对模拟估计。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算