相依程度：Pearson、Spearman、Kendall

两个变量（例如赔款和理赔费用）相关有多强？线性相关和秩相关差多少？换算成各种 Copula 的参数是多少？

SOA SRMIFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 0 个
参数: 2 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

变量 X6 个数

最小 3最大 21均值 10.83

3–5,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

变量 Y6 个数

和 X 一一对应

最小 7最大 19均值 13.67

3–5,000 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的 6 对数计算

输出

用时 878 毫秒 · 11/14 22:24 运行

样本对数: 6对
Pearson 相关系数 r: 0.40864
Spearman ρ: 0.428571
Kendall τ: 0.2
Blomqvist β（按中位数同侧的比例）: 33.33%
Pearson 的 p 值: 0.421159
Spearman 的 p 值: 0.396501
Kendall 的 p 值: 0.719444

伪观测：按 u 排序后的 v（看 v 是否随 u 上升）

纵轴：v

按 Kendall τ 换算的各 copulaimplied4 行 · 5 列

结果表按 Kendall τ 换算的各 copula
Copula	按 τ 换算的参数	对应的 Spearman ρ	下尾相依 λ_L	上尾相依 λ_U
高斯 Copula（参数 ρ）	0.309017	0.296276	0	0
Clayton Copula（参数 θ > 0，下尾相依）	0.5	0.294944	0.25	0
Gumbel Copula（参数 θ ≥ 1，上尾相依）	1.25	0.293341	0	0.258899
Frank Copula（参数 θ ≠ 0，没有尾部相依）	1.86088	0.296713	0	0

伪观测pseudo6 行 · 4 列

结果表伪观测
X	Y	伪观测 u = 秩/(n+1)	伪观测 v
15	19	0.714286	0.857143
9	7	0.428571	0.142857
5	13	0.285714	0.428571
3	15	0.142857	0.571429
21	17	0.857143	0.714286
12	11	0.571429	0.285714

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 3 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版 16.1 节：6 对数据，Spearman ρ = 0.42857，Kendall τ = 0.2
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
Kendall τkendall 0.2 0.2
Spearman ρspearman 0.4285714 0.42857143
允许误差 0.000001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
这次算出的数对得上
手算：x̄ = 10.8333，ȳ = 13.6667，Σ(x−x̄)(y−ȳ) = 58.6667，Σ(x−x̄)² = 220.8333，Σ(y−ȳ)² = 93.3333，r = 0.40864
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
Pearson 相关系数 rpearson 0.4086398 0.40863985
允许误差 0.000001
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
Kendall τkendall	0.2	0.2
Spearman ρspearman	0.4285714	0.42857143

项	标准答案	这次算出
Pearson 相关系数 rpearson	0.4086398	0.40863985

第 3 条

这次算出的数对得上

手算：τ = 0.2，Clayton θ = 2τ/(1 − τ) = 0.5，Gumbel θ = 1/(1 − τ) = 1.25，高斯 ρ = sin(πτ/2) = 0.30902

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
按 τ 换算的参数表 implied · family=clayton	0.5	0.5
按 τ 换算的参数表 implied · family=gaussian	0.309017	0.30901699
按 τ 换算的参数表 implied · family=gumbel	1.25	1.25

允许误差 0.000001

上面这次运行用的就是这道题的参数

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：2 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 8 行878 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.copula import dependence_measures34result = dependence_measures.dependence_measures(5    x=[15, 9, 5, 3, 21, 12],6    y=[19, 7, 13, 15, 17, 11],7)8print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）16.1 Classic Measures of Scalar Associations
Nelsen：An Introduction to Copulas，第 5 章

这个方法算什么

Pearson 相关系数、Spearman ρ、Kendall τ（有相同值时用 τ-b）、Blomqvist β 和显著性检验；按 Kendall τ 换算成高斯、Clayton、Gumbel、Frank Copula 的参数；伪观测表。

说明和限制

Pearson 相关系数只量线性关系，受边际分布影响；Spearman ρ 和 Kendall τ 只看秩，不受单调变换影响，适合描述 Copula。
有相同值时 Kendall τ 用 τ-b（scipy 的 kendalltau），Spearman ρ 用平均秩的相关系数。
按 τ 换算的参数假设数据来自那一族 Copula，不代表这一族合适。选族见 copula.fit。

数据

没有用平台数据：按输入的两列数计算。默认是 Loss Data Analytics 16.1 节的 6 对数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

相依与 Copula，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个变量（例如赔款和理赔费用）相关有多强？线性相关和秩相关差多少？换算成各种 Copula 的参数是多少？”