相依结构对两条业务线总损失的影响 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

业务线 1 的损失分布

业务线 1 的 μ

正态、对数正态

范围 -100 万到 10,000 万

业务线 1 的 σ

正态、对数正态

0.0011,000 万

业务线 2 的损失分布

业务线 2 的形状参数 α

0.05100

业务线 2 的尺度参数 θ万元

0 万元100,000 万万元

Copula

Kendall τ

-0.90.95

其余 3 个参数

置信水平 p

0.50.9995

模拟次数

1 万40 万

随机数种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数模拟 200000 次（种子 2026）

输出

用时 938 毫秒 · 11/14 22:24 运行

Copula 的参数: 1.66667
VaR（p = 0.99），独立: 5,283.34万元
VaR（p = 0.99），Gumbel Copula: 6,576.05万元
VaR（p = 0.99），同单调: 7,044.57万元
TVaR（p = 0.99），独立: 7,638.87万元
TVaR（p = 0.99），Gumbel Copula: 1.05 万万元
TVaR（p = 0.99），同单调: 1.091 万万元
Copula 比独立多出的 TVaR: 0.374077

总损失超过 x 的概率

独立
Gumbel Copula（τ = 0.4）
反单调

纵轴：Pr(S > x)

各业务线的风险lines2 行 · 5 列

结果表各业务线的风险
业务线	分布	期望	VaR	TVaR
业务线 1	对数正态分布 LN(μ = 6, σ = 1)	665.142	4,131.3	6,143.4
业务线 2	两参数 Pareto(α = 3, θ = 800)	400	2,913.27	4,769.91

各相依结构的总损失风险structures4 行 · 6 列

结果表各相依结构的总损失风险
相依结构	期望	VaR	TVaR	VaR 的分散化效果	TVaR 的分散化效果
反单调	1,064.83	4,738.16	7,061.28	2,306.41	3,852.02
独立	1,062.95	5,283.34	7,638.87	1,761.23	3,274.44
Gumbel Copula（τ = 0.4）	1,069.38	6,576.05	10,496.39	468.527	416.917
同单调（精确）	1,065.14	7,044.57	10,913.3	0	0

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

平台算出的数对得上

正态边际的闭式公式手算：高斯 Copula τ = 1/3 即 ρ = 0.5，S ~ N(150, 700)，VaR = 150 + 2.3263√700，TVaR = 150 + √700·φ(z)/0.01；独立时方差 500；同单调时标准差 30

参数业务线 1 的损失分布正态分布 N(μ, σ²)业务线 2 的损失分布正态分布 N(μ, σ²)Copula 高斯 Copula（参数 ρ）业务线 1 的 μ 100业务线 2 的 μ 50置信水平 p 0.99业务线 1 的 σ 20业务线 2 的 σ 10Kendall τ 0.3333其余用默认值

项	标准答案	平台算出
TVaR表 structures · key=comonotonic	229.9564	229.95643
VaR表 structures · key=comonotonic	219.7904	219.79044
TVaR表 structures · key=copula	220.5149	220.4614
VaR表 structures · key=copula	211.5494	211.51577
VaR表 structures · key=independent	202.0187	202.10121

说明：Copula 和独立的结果来自 20 万次模拟，误差放到 0.6；同单调是精确值

允许误差 0.6

第 2 条
这次算出的数对得上
闭式公式手算：同单调时各自相加。LN(6,1)：VaR = e^{6 + 2.32635} = 4131.3019，TVaR = e^{6.5}Φ(1 − 2.32635)/0.01 = 6143.3977；Pareto(3, 800)：VaR = 800(0.01^{−1/3} − 1) = 2913.2711，TVaR = VaR + (VaR + 800)/2 = 4769.9066
参数业务线 2 的形状参数 α 3业务线 1 的损失分布对数正态分布 LN(μ, σ)业务线 2 的损失分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）业务线 1 的 μ 6置信水平 p 0.99业务线 1 的 σ 1业务线 2 的尺度参数 θ 800 万元其余用默认值
项标准答案这次算出
TVaR表 structures · key=comonotonic 10,913.304 10,913.304
VaR表 structures · key=comonotonic 7,044.573 7,044.573
允许误差 0.001
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
TVaR表 structures · key=comonotonic	10,913.304	10,913.304
VaR表 structures · key=comonotonic	7,044.573	7,044.573

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：16 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 22 行938 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.copula import aggregate_dependence34result = aggregate_dependence.aggregate_dependence(5    dist1="lognormal",6    mu1=6,7    sigma1=1,8    alpha1=3,9    theta1=1000,10    dist2="pareto",11    mu2=5,12    sigma2=1,13    alpha2=3,14    theta2=800,15    family="gumbel",16    tau=0.4,17    nu=4,18    p=0.99,19    n_sims=200000,20    seed=2026,21)22print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）16.4 Types of Copulas；16.6 Importance of Dependence Modeling
McNeil、Frey、Embrechts：Quantitative Risk Management，相依和风险汇总

覆盖的考试公式

PRB-013阿基米德 copula（Gumbel、Clayton、Frank）CS2
PRB-014高斯与 t copulaCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

边际分布固定，换相依结构：独立、选定的 Copula（按 Kendall τ 给参数）、同单调（完全正相依）、反单调。比较总损失的期望、VaR、TVaR 和分散化效果，画总损失的超越概率曲线。

说明和限制

同单调的 VaR 和 TVaR 用闭式公式精确计算（各自的分位数相加）；其他结构按模拟算，模拟的种子固定。
同单调时 TVaR 最大，所以 TVaR 永远不超过同单调的值；VaR 不一定，有时某种 Copula 下的 VaR 比同单调还大（VaR 不满足次可加性）。
Copula 的参数按 Kendall τ 换算。Clayton、Gumbel 要求 τ > 0；Frank 要求 τ ≠ 0。
同一个 τ 下，Gumbel（上尾相依）通常让总损失的尾部比高斯 Copula 更重。

数据

没有用平台数据：按输入的参数模拟两条业务线

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

相依与 Copula，还有 3 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两条业务线的损失相关时，合起来的 99% VaR、TVaR 比独立时大多少？用 Gumbel 这样有尾部相依的 Copula 又会怎样？”